Question

如圖，已知：點D是△ABC的邊BC上一動點，且AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=α．
（1）如圖1，當α=60°時，∠BCE=

 

．
（2）如圖2，當α=90°時，
①試判斷∠BCE的度數(shù)是否發(fā)生改變，若變化，請指出其變化范圍；若不變化，請求出其值，并給出證明
②若AE與BC邊交于F，試比較DF與（BD+CF）的大小，并寫出證明過程．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,三角形三邊關系,等腰三角形的性質,等邊三角形的判定與性質

專題：探究型

分析：（1）易證△ABD≌△ACE，則有∠ABD=∠ACE，就可求出∠BCE的值．
（2）①設AE與BC的交點為F，如圖2．由∠ACB=∠DEA=45°可證到△AFC∽△DFE，進而可證到△AFD∽△CFE，則有∠DAF=∠BCE=45°．
②將線段AD繞著點A逆時針旋轉90°到AG的位置，連接CG，F(xiàn)G，如圖3，則有AG=AD，∠DAG=90°．易證△BAD≌△CAG，則有BD=CG，∠ABD=∠ACG，從而可求出∠FCG=90°．易證∠FAG=∠DAF，從而可證到△DAF≌△GAF，則有∴DF=GF．在Rt△FCG中，根據(jù)三角形的三邊關系得：FG＜CG+CF．由于FG=DF，CG=BD，因此DF＜BD+CF．

解答：解：（1）如圖1，

∵AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=60°，
∴△ABC和△DAE是等邊三角形，∠BAD=∠CAE．
∴AD=AE，∠BCA=60°，∠ABD=60°．
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

．
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴∠ABD=∠ACE．
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠ABD=120°．
故答案為：120°．

（2）①∠BCE的度數(shù)不變，等于45°．
證明：設AE與BC的交點為F，如圖2．

∵AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=90°，
∴∠B=∠ACB=∠DAE=∠DEA=45°．
∵∠AFC=∠DFE，∠ACF=∠DEF，
∴△AFC∽△DFE．
∴

FA

FD

=

FC

FE

．
∵∠AFD=∠EFC，
∴△AFD∽△CFE．
∴∠DAF=∠ECF．
∴∠ECF=45°，即∠BCE=45°．
②DF＜BD+CF．
證明：將線段AD繞著點A逆時針旋轉90°到AG的位置，連接CG，F(xiàn)G，如圖3．

則有AG=AD，∠DAG=90°．
∵∠BAC=∠DAG=90°，
∴∠BAD=∠CAG．
在△BAD和△CAG中，

AB=AC ∠BAD=∠CAG AD=AG

．
∴△BAD≌△CAG（SAS）．
∴BD=CG，∠ABD=∠ACG．
∴∠FCG=∠FCA+∠ACG=∠FCA+∠ABD=90°．
∵∠DAG=90°，∠DAE=45°，
∴∠FAG=∠DAG-∠DAF=45°=∠DAF．
在△DAF和△GAF中，

AD=AG ∠DAF=∠FAG AF=AF

．
∴△DAF≌△GAF（SAS）．
∴DF=GF．
在Rt△FCG中，
根據(jù)三角形的三邊關系得：FG＜CG+CF．
∵FG=DF，CG=BD，
∴DF＜BD+CF．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、三角形的三邊關系等知識，通過旋轉變換構造全等三角形，從而將相關線段轉移到同一個三角形中是解決最后一個問題的關鍵．