Question

如圖，已知：點(diǎn)D是△ABC的邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，且AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=α．
（1）如圖1，當(dāng)α=60°時(shí)，∠BCE=

 

．
（2）如圖2，當(dāng)α=90°時(shí)，
①試判斷∠BCE的度數(shù)是否發(fā)生改變，若變化，請(qǐng)指出其變化范圍；若不變化，請(qǐng)求出其值，并給出證明
②若AE與BC邊交于F，試比較DF與（BD+CF）的大小，并寫出證明過程．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),三角形三邊關(guān)系,等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：探究型

分析：（1）易證△ABD≌△ACE，則有∠ABD=∠ACE，就可求出∠BCE的值．
（2）①設(shè)AE與BC的交點(diǎn)為F，如圖2．由∠ACB=∠DEA=45°可證到△AFC∽△DFE，進(jìn)而可證到△AFD∽△CFE，則有∠DAF=∠BCE=45°．
②將線段AD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AG的位置，連接CG，F(xiàn)G，如圖3，則有AG=AD，∠DAG=90°．易證△BAD≌△CAG，則有BD=CG，∠ABD=∠ACG，從而可求出∠FCG=90°．易證∠FAG=∠DAF，從而可證到△DAF≌△GAF，則有∴DF=GF．在Rt△FCG中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得：FG＜CG+CF．由于FG=DF，CG=BD，因此DF＜BD+CF．

解答：解：（1）如圖1，

∵AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=60°，
∴△ABC和△DAE是等邊三角形，∠BAD=∠CAE．
∴AD=AE，∠BCA=60°，∠ABD=60°．
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

．
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴∠ABD=∠ACE．
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠ABD=120°．
故答案為：120°．

（2）①∠BCE的度數(shù)不變，等于45°．
證明：設(shè)AE與BC的交點(diǎn)為F，如圖2．

∵AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=90°，
∴∠B=∠ACB=∠DAE=∠DEA=45°．
∵∠AFC=∠DFE，∠ACF=∠DEF，
∴△AFC∽△DFE．
∴

FA

FD

=

FC

FE

．
∵∠AFD=∠EFC，
∴△AFD∽△CFE．
∴∠DAF=∠ECF．
∴∠ECF=45°，即∠BCE=45°．
②DF＜BD+CF．
證明：將線段AD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AG的位置，連接CG，F(xiàn)G，如圖3．

則有AG=AD，∠DAG=90°．
∵∠BAC=∠DAG=90°，
∴∠BAD=∠CAG．
在△BAD和△CAG中，

AB=AC ∠BAD=∠CAG AD=AG

．
∴△BAD≌△CAG（SAS）．
∴BD=CG，∠ABD=∠ACG．
∴∠FCG=∠FCA+∠ACG=∠FCA+∠ABD=90°．
∵∠DAG=90°，∠DAE=45°，
∴∠FAG=∠DAG-∠DAF=45°=∠DAF．
在△DAF和△GAF中，

AD=AG ∠DAF=∠FAG AF=AF

．
∴△DAF≌△GAF（SAS）．
∴DF=GF．
在Rt△FCG中，
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得：FG＜CG+CF．
∵FG=DF，CG=BD，
∴DF＜BD+CF．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，通過旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等三角形，從而將相關(guān)線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中是解決最后一個(gè)問題的關(guān)鍵．