Question

12．如圖1，已知△ABC是等邊三角形，點D是BC邊上一動點（不與點B、C重合），在AB的同側(cè)以AD為邊作△ADE使其為等邊三角形，連接CE．

（1）如圖1，求證：CE∥AB；
（2）當(dāng)點D為BC的中點時，如圖2，求AF：CF的值；
（3）當(dāng)點D為BC的中點時，作∠ACB的平分線，交DE于點G，如圖3，請寫出BD、DG、GE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并加以說明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AD=AE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=60°，求出∠BAD=∠CAE，根據(jù)SAS推出△BAD≌△CAE，根據(jù)全等得出∠ACE=∠ABD=60°，求出∠ACE=∠CAB=60°即可；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出AD平分∠CAB，AD⊥BC，求出AF⊥DE，設(shè)AB=2k，根據(jù)勾股定理求出AD，求出DF=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$k，根據(jù)勾股定理求出AF=$\frac{3}{2}$k，即可得出答案；
（3）求出CE=BD=CD，在Rt△ECG中，由勾股定理求出EC²+CG²=EG²，求出CG=DG，代入求出即可．

解答 （1）證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=60°
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠DAB=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ACE=∠ABD=60°，
即∠ACE=∠CAB=60°，
∴CE∥AB；

（2）解：∵點D是BC的中點，
∴AD平分∠CAB，AD⊥BC，
∴AC平分∠DAE，
∴AF⊥DE，
設(shè)AB=2k，在Rt△ABD中，由勾股定理得AD=$\sqrt{（2k）^{2}-{k}^{2}}$=$\sqrt{3}$k，
在Rt△AFD中，DF=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$k，由勾股定理得AF=$\sqrt{（\sqrt{3}k）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}k）^{2}}$=$\frac{3}{2}$k，
∴CF=2k-$\frac{3}{2}$k=$\frac{1}{2}$k，
∴AF：CF=$\frac{3}{2}$k：$\frac{1}{2}$k=3；

（3）解：BD²+DG²=EG²，
理由是：
由（1）知∠ACE=∠ABD=60°，CE=BD，
∵CG平分∠ACB，∠ACG=30°，
∴∠ECG=90°，
在Rt△ECG中，由勾股定理，得EC²+CG²=EG²，
∵CE=BD=CD，
∴∠CDE=∠CED=30°，
∴∠DCG=∠CDG=30°，CG=DG，
∴BD²+DG²=EG²．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關(guān)鍵，題目綜合性比較強，難度偏大．