Question

【題目】如圖，在中，，，以為直徑作交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接．點(diǎn)在上，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

（1）求證：是的切線；

（2）連接，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）連接OD，AD．根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=90°，求得∠ADC=90°，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到DE=AE，求得∠EAD=∠EDA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAD=∠ODA，推出OD⊥DE，于是得到結(jié)論；

（2）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，連接OF，得到∠AHF=90°．根據(jù)余角的想性質(zhì)得到∠G=∠BAF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，由垂線段最短可得FH≤OF，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)H，O重合時(shí)等號(hào)成立．于是得到結(jié)論．

（1）證明：連接，．

∵為直徑，點(diǎn)在上，

∴，

∴．

∵是的中點(diǎn)，

∴，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴，

即，

∴．

∵是半徑的外端點(diǎn)，

∴是的切線．

（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，

∴．

∵為直徑，點(diǎn)在上，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴．

又，

∴，

∴．

由垂線段最短可得，

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)，重合時(shí)等號(hào)成立．

∵，

∴上存在點(diǎn)使得，此時(shí)點(diǎn)，重合，

∴，

即的最大值為．