Question

如圖①，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm．動點P在線段BC上以1cm/s的速度從點B運動到點C．過點P作PE⊥BC與AB交于點E，以PE為對稱軸將PE右側(cè)的圖形翻折得到△B′PE，設(shè)點P的運動時間為x（s）．
（1）求點B′落在邊AC上時x的值．
（2）當(dāng)x＞0時，設(shè)△B′PE和直角△ABC重疊部分圖形面積為y（cm²），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）如圖②，點P運動的同時另有一動點D在線段AC上以2cm/s的速度從點C運動到點A．Q為CD的中點，以DQ為斜邊在線段AC右側(cè)作等腰直角△DQM．
①求當(dāng)（2）中△B′PE和直角△ABC重疊部分圖形面積是△DQM的面積4倍時x的取值范圍．
②當(dāng)△DQM 的頂點落在△B′PE的邊上時，直接寫出所有符合條件的x值．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)得：BP=B'P=x，再根據(jù)點B′落在邊AC上，可得BP=

1

2

BC=

1

2

×4=2，從而求得點B′落在邊AC上時x的值．
（2）分0＜x≤2，2＜x≤4兩種情況討論得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）①分0＜x≤2，2＜x≤4，由△B′PE和直角△ABC重疊部分圖形面積是△DQM的面積4倍，得到關(guān)于x的方程，即可求解．
②分三種情況：△DQM 的頂點M落在△B′PE的邊B′E上；△DQM 的頂點Q落在△B′PE的邊B′E上；△DQM 的頂點D落在△B′PE的邊PE上；進(jìn)行討論即可求解．

解答：解：（1）由翻折得：BP=B'P=x，
∵點B′落在邊AC上，
∴BP=

1

2

BC=

1

2

×4=2．
∵BP=x，
∴x=2．
∴點B'落在邊AC上時x的值為2．                           

（2）y=

x2(0＜x≤2) -3x2+16x-16(2＜x≤4)

．               

（3）①當(dāng)0＜x≤2時，△B′PE和直角△ABC重疊部分圖形面積是x²，△DQM的面積是=

1

2

（2x÷2）×（2x÷2÷2）=

1

4

x²，即△B′PE和直角△ABC重疊部分圖形面積是△DQM的面積4倍；
當(dāng)2＜x≤4時，△B′PE和直角△ABC重疊部分圖形面積是-3x²+16x-16，△DQM的面積是=

1

2

（2x÷2）×（2x÷2÷2）=

1

4

x²，-3x²+16x-16=4×

1

4

x²，即x²-4x+4=0，解得x=2（不符合題意舍去）．
故△B′PE和直角△ABC重疊部分圖形面積是△DQM的面積4倍時x的取值范圍是2＜x≤4．
②△DQM 的頂點M落在△B′PE的邊B′E上，

3

2

x=[x-（4-

1

2

x-x）]×2，解得x=

16

7

；
△DQM 的頂點Q落在△B′PE的邊B′E上，4+

1

2

x=2x，解得x=

8

3

；
△DQM 的頂點D落在△B′PE的邊PE上，x=4．
故符合條件的x值為：x=

16

7

；x=

8

3

；x=4．

點評：考查了相似形綜合題，涉及的知識點有：翻折的性質(zhì)，三角形的面積，分類思想的運用，方程思想的運用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．