Question

如圖，已知拋物線y=

1

4

x²-

1

4

（b+1）x+

b

4

（b是實(shí)數(shù)且b＞2）與x軸的正半軸分別交與點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左則），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C．
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為

 

，點(diǎn)C的坐標(biāo)為

 

（用含b的代數(shù)式表示）；
（2）請(qǐng)你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且三角形PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）根據(jù)（2）問(wèn)，求點(diǎn)P能否在拋物線上？如果能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）對(duì)于拋物線解析式，令y=0得到關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，根據(jù)A與B的位置關(guān)系即可確定出A、B的坐標(biāo)；
（2）過(guò)P作PE垂直于x軸，過(guò)C作CD垂直于PE，利用AAS得出△PCD與△PBE全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到PE=CD，設(shè)P（x，x），即PE=CD=x，如圖所示，S_{四邊形PCOB}=S_梯形OCPE+S_{直角三角形BPE}，令拋物線解析式中x為0表示出y，求出OC的長(zhǎng)，利用梯形及三角形面積公式列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出P的坐標(biāo)．
（3）把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線解析式進(jìn)行驗(yàn)證即可．

解答：解：（1）對(duì)于拋物線y=

1

4

x²-

1

4

（b+1）x+

b

4

（b是實(shí)數(shù)且b＞2）．
令y=0，則

1

4

x²-

1

4

（b+1）x+

b

4

=0，
整理，得
（x-1）（x-b）=0，
解得：x=1或x=b，
∵A在B的左邊，
∴A（1，0），B（b，0）．ω
令x=0，則y=

b

4

．
∴C（0，

b

4

）
故答案是：（b，0）；C（0，

b

4

）；

（2）存在點(diǎn)P．理由如下：
如圖，過(guò)P作PE⊥x軸，過(guò)C作CD⊥PE，
∵由（1）知，C（0，

b

4

），
∴即OC=

b

4

，
∵△BCP為等腰直角三角形，
∴PC=PB，∠CPB=90°，
∴∠CPD+∠BPE=90°，
∵∠CPD+∠PCD=90°，
∴∠BPE=∠PCD，
在△CDP和△PEB中，

∠PDC=∠BEP=90° ∠PCD=∠BPE PC=PB

，
∴△CDP≌△PEB（AAS），
∴CD=PE，
設(shè)P（x，x），則有CD=PE=x，
∵S_{四邊形OCPB}=S_梯形OCPE+S_△PEB=

1

2

x•（

b

4

+x）+

1

2

x（b-x）=2b，
整理得：5x=16，
解得：x=

16

5

，
則P（

16

5

，

16

5

）．

（3）點(diǎn)P不在該拋物線上，理由如下：
把P（

16

5

，

16

5

）代入y=

1

4

x²-

1

4

（b+1）x+

b

4

，得

16

5

=

1

4

×（

16

5

）²-

1

4

（b+1）×

16

5

+

b

4

，
解得b=-

136

35

，與b＞2相矛盾，
則點(diǎn)P不在該拋物線上．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及梯形、三角形面積求法，根據(jù)題意得出CD=PE是解本題第二問(wèn)的關(guān)鍵．