Question

6．如圖，點C是線段AB上的任意一點（C點不與A、B點重合），分別以AC、BC為邊在直線AB的同側作等邊三角形△ACD和等邊三角形BCE，AE與CD相交于點M，BD與CE相交于點N．
（1）△ACE≌△DCB；
（2）△ACM≌△DCN；
（3）MN∥AB．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質得出AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，得出∠DCB=∠ACE，由SAS即可得出△ACE≌△DCB；
（2）由全等三角形的性質得出∠EAC=∠BDC，再證出∠ACD=∠DCE，由ASA證明△ACM≌△DCN即可；
（3）由全等三角形的性質得出CM=CN，證出△MCN是等邊三角形，得出∠MNC=∠NCB=60°，即可得出結論．

解答 證明：（1）∵△ACD和△BCE是等邊三角形，
∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∠DCB=∠ACE，
在△ACE與△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}&{\;}\\{∠DCB=∠ACE}&{\;}\\{BC=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（SAS）；
（2）由（1）得：△ACE≌△DCB，
∴∠EAC=∠BDC，
∵∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠DCE，
在△ACM與△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAC=∠BDC}&{\;}\\{AC=DC}&{\;}\\{∠ACD=∠BCE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△DCN（ASA）．
（3）由（2）得：△ACM≌△DCN，
∴CM=CN，
又∵∠MCN=180°-60°-60°=60°，
∴△MCN是等邊三角形，
∴∠MNC=60°=∠NCB，
∴MN∥AB．

點評 本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、平行線的判定；熟練掌握等邊三角形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．