Question

如圖，已知拋物線(xiàn)y=

3

8

x²-

3

4

x-3與x軸的交點(diǎn)為A、D（A在D的右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)為C．
（1）直接寫(xiě)出A、D、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)M在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上，使得MD+MC的值最小，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使得以A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）令y=0，解方程

3

8

x²-

3

4

x-3=0可得到A點(diǎn)和D點(diǎn)坐標(biāo)；令x=0，求出y=-3，可確定C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）找到點(diǎn)D關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，連結(jié)AC，根據(jù)待定系數(shù)法可得直線(xiàn)AC的解析式，令x=1，求得拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn)AC的解析式的交點(diǎn)坐標(biāo)，即為所求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)梯形定義確定點(diǎn)P，如圖所示：①若BC∥AP₁，確定梯形ABCP₁．此時(shí)P₁與D點(diǎn)重合，即可求得點(diǎn)P₁的坐標(biāo)；②若AB∥CP₂，確定梯形ABCP₂．先求出直線(xiàn)CP₂的解析式，再聯(lián)立拋物線(xiàn)與直線(xiàn)解析式求出點(diǎn)P₂的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵y=

3

8

x²-

3

4

x-3，
∴當(dāng)y=0時(shí)，

3

8

x²-

3

4

x-3=0，
解得x₁=-2，x₂=4．
當(dāng)x=0，y=-3．
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3）；

（2）如圖1，連結(jié)AC．
∵點(diǎn)D關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，
∴由軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題可知，拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn)AC的解析式的交點(diǎn)坐標(biāo)，即為所求點(diǎn)M的坐標(biāo)，
設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為：y=kx+b，
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），
∴

4k+b=0 b=-3

，
解得

k= 3 4 b=-3

．
故直線(xiàn)AC的解析式為：y=

3

4

x-3，
令x=1，則y=

3

4

x-3=-

9

4

．
故點(diǎn)M的坐標(biāo)（1，-

9

4

）；

（3）結(jié)論：存在．
在拋物線(xiàn)上有兩個(gè)點(diǎn)P滿(mǎn)足題意：
①如圖2，若BC∥AP₁，此時(shí)梯形為ABCP₁．
由點(diǎn)C關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，可知BC∥x軸，則P₁與D點(diǎn)重合，
∴P₁（-2，0）．
∵P₁A=6，BC=2，
∴P₁A≠BC，
∴四邊形ABCP₁為梯形；
②如圖3，若AB∥CP₂，此時(shí)梯形為ABCP₂．
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3），
∴直線(xiàn)AB的解析式為y=

3

2

x-6，
∴可設(shè)直線(xiàn)CP₂的解析式為y=

3

2

x+n，
將C點(diǎn)坐標(biāo)（0，-3）代入，得n=-3，
∴直線(xiàn)CP₂的解析式為y=

3

2

x-3．
∵點(diǎn)P₂在拋物線(xiàn)y=

3

8

x²-

3

4

x-3上，
∴

3

8

x²-

3

4

x-3=

3

2

x-3，
化簡(jiǎn)得：x²-6x=0，
解得x₁=0（舍去），x₂=6，
∴點(diǎn)P₂橫坐標(biāo)為6，代入直線(xiàn)CP₂解析式求得縱坐標(biāo)為6，
∴P₂（6，6）．
∵AB∥CP₂，AB≠CP₂，
∴四邊形ABCP₂為梯形．
綜上所述，在拋物線(xiàn)上存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形為梯形；點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，0）或（6，6）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)求法，軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題，梯形的判定．綜合性較強(qiáng)，有一定難度．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．