Question

如圖，AB、AD是以AB為邊向△ABC向外所作正n邊形的一組鄰邊；AC、AE是以AC為邊向△ABC外所作正n邊形的一組鄰邊，BE、CD的延長線相交于點(diǎn)O．
①猜想：∠BOC的度數(shù)為

 

（用含n的式子表示）；
②證明你的猜想．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),多邊形內(nèi)角與外角

專題：

分析：①分別以AB、AC為邊，向△ABC外作正三角形，正四邊形，正五邊形，BE、CD相交于點(diǎn)O…得出對(duì)應(yīng)的∠BOC的度數(shù)分別為

360

3

，

360

4

，

360

5

…，進(jìn)一步類推得出∠BOC的度數(shù)為

360

n

；
②證明△DAC≌△BAE，根據(jù)三角形外角與內(nèi)角之間的關(guān)系就可以求出∠BOC的值，依此類推就可以得出當(dāng)作n邊形的時(shí)候就可以求出∠BOC的值．

解答：解：①∠BOC的度數(shù)為

360

n

；
②證明：根據(jù)題意，得∠BAD和∠CAE都是正n邊形的內(nèi)角，
∵AB=AD，AE=AC．
∴∠BAD=∠CAE=

(n-2)•180°

n

，
∴∠BAD-∠DAE=∠CAE-∠DAE，
即∠BAE=∠DAC，
在△ABE≌△ADC中，

BA=DA ∠BAE=∠DAC AE=AC

∴△ABE≌△ADC（SAS）
∴∠ABE=∠ADC．
則∠ADC+∠ODA=∠ABO+∠ODA=180°，
∵∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC=360°，
∴∠DAB+∠BOC=180°，
∴∠BOC=180°-∠DAB=180°-

(n-2)•180°

n

=

360°

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正n邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)正多邊形的性質(zhì)證明三角形全等是關(guān)鍵．