Question

求證：不論k為何實數(shù)，關于x的式子（x-1）（x-2）-k²都可以分解成兩個一次因式的積．

Answer 1

考點：根的判別式

專題：證明題

分析：不論k為何實數(shù)，關于x的式子（x-1）（x-2）-k²可以分解成兩個一次因式的積即關于x的方程（x-1）（x-2）-k²=0有兩個實數(shù)根，則方程的根的判別式△≥0，由此可列出關于k的不等式，求出k的取值范圍．

解答：證明：關于x的方程（x-1）（x-2）-k²=0整理，得x²-3x+2-k²=0，
∵△=9-4（2-k²）=1+4k²＞0，
∴不論k為何實數(shù)，關于x的方程（x-1）（x-2）-k²=0都有兩個不相等的實數(shù)根，
∴不論k為何實數(shù)，關于x的式子（x-1）（x-2）-k²都可以分解成兩個一次因式的積．

點評：本題考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．