Question

在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°．將一塊三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別交邊AC、CB于點D、E．
（1）如圖①，當PD⊥AC時，則DC+CE的值是

 

．
（2）如圖②，當PD與AC不垂直時，（1）中的結論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由；
（3）如圖③，在∠DPE內(nèi)作∠MPN=45°，使得PM、PN分別交DC、CE于點M、N，連接MN．那么△CMN的周長是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）由等腰三角形的性質和P為斜邊AB的中點可知DC=1，CE=1，所以DC+CE的值可求；
（2）結論成立．連接PC，通過證明△PCD≌△PBE．可得DC=EB，所以DC+CE=EB+CE=BC=2；
（3）△CMN的周長為定值，且周長為2． 在EB上截取EF=DM，通過證明△PMN≌△PFN，得到MN=NF． 所以MC+CN+NM=MC+CN+NE+EF=MC+CE+DM═DC+CE=2．

解答：解：（1）DC+CE=2；      
（2）結論成立．連接PC，如圖②．   
∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中點，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=

1

2

∠ACB=45°．
∴∠ACP=∠B=45°，∠CPB=90°．   
∴∠BPE=90°-∠CPE．
又∵∠DPC=90°-∠CPE，
∴∠DPC=∠EPB．        
∴△PCD≌△PBE．
∴DC=EB，
∴DC+CE=EB+CE=BC=2．     
（3）△CMN的周長為定值，且周長為2．      
在EB上截取EF=DM，如圖③，
由（2）可知：PD=PE，∠PDC=∠PEB，
∴△PDM≌△PEF，
∴∠DPM=∠EPF，PM=PF．
∵∠NPF=∠NPE+∠EPF=∠NPE+∠DPM
=∠DPE-∠MPN
=45°=∠NPM．
∴△PMN≌△PFN，
∴MN=NF．       
∴MC+CN+NM=MC+CN+NE+EF，
=MC+CE+DM，
=DC+CE，
=2．
∴△CMN的周長是2．

點評：此題比較復雜，綜合考查全等三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、圖形的變換．綜合性很強，是一道不錯的題目．