Question

△ABC是等邊三角形，點D是射線BC上的一個動點（點D不與點B、C重合），△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過點E作BC的平行線，分別交射線AB、AC于點F、G，連接BE．
（1）如圖a所示，當點D在線段BC上時，
①求證：△AEB≌△ADC；
②探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形？并說明理由；
（2）如圖b所示，當點D運動到什么位置時，四邊形BCGE是菱形？并說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),平行四邊形的判定,菱形的判定

專題：證明題

分析：（1）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，利用等量減等量差相等可得到∠DAC=∠BAE，則可根據(jù)“SAS”證明△ABE≌△ADC；
②由△ABC和△DE都是等邊三角形得到∠ACB=∠BAC=60°，由△ABE≌△ADC得到∠ABE=∠ACD=60°，則∠ABE=∠BAC，根據(jù)平行線的判定得到BE∥AC，
加上EG∥BC，于是根據(jù)平行四邊形的判定方法得到四邊形BCGE為平行四邊形；
（2）與（1）一樣可證得△ABE≌△ADC，得到BE=CD；與（1）一樣可證得四邊形BCGE為平行四邊形，根據(jù)菱形的判定方當BC=BE時，四邊形BCGE是菱形，
此時BC=CD，所以有DC=BC時，四邊形BCGE是菱形．

解答：（1）①證明：∵△ABC和△DE都是等邊三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，
∴∠BAC-∠BAD=∠EAD-∠BAD，即∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中，

AB=AC ∠BAE=∠DAC AE=AD

，
∴△ABE≌△ADC（SAS）；
②四邊形BCGE是平行四邊形．理由如下：
∵△ABC和△DE都是等邊三角形，
∴∠ACB=∠BAC=60°，
∵△ABE≌△ADC，
∴∠ABE=∠ACD=60°，
∴∠ABE=∠BAC，
∴BE∥AC，
∵EG∥BC，
∴四邊形BCGE為平行四邊形；
（2）當點D運動到DC=BC時，四邊形BCGE是菱形．理由如下：
與（1）一樣可證得△ABE≌△ADC，則BE=CD；
與（1）一樣可證得四邊形BCGE為平行四邊形，
∴當BC=BE時，四邊形BCGE是菱形，
此時BC=CD，
即當DC=BC時，四邊形BCGE是菱形．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應邊相等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和菱形的判定．