Question

如圖，CB∥OA，∠B=∠A=100°，E，F(xiàn)在CB上，且滿足∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF．
（1）∠EOC=

 

°；
（2）若平行移動(dòng)AC，那么∠OCB與∠OFB大小的比值是否會(huì)發(fā)生變化？若變化，試說明理由；若不變，請求出這個(gè)比值；
（3）在平行移動(dòng)AC的過程中，若點(diǎn)P是射線OE上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與O、E兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，設(shè)∠OFB=α，請用含α的代數(shù)式表示∠EPQ，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）由BC∥OA得∠B+∠O=180°，所以∠O=180°-∠B=80°，則∠A+∠O=180°，根據(jù)平行線的判定即可得到OB∥AC；
（2）由OE平分∠BOF得到∠BOE=∠FOE，加上∠FOC=∠AOC，所以∠EOF+∠COF=

1

2

∠AOB=40°；
（3）分類討論：當(dāng)點(diǎn)P在線段OE上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段OE的延長線上時(shí)，
①根據(jù)三角形內(nèi)角和，可得∠BOF=80°-α，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠EOF=40°-

1

2

α，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，可得∠OEB=40°+

1

2

α，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得答案；
②根據(jù)三角形內(nèi)角和，可得∠BOF=80°-α，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠EOF=40°-

1

2

α，根據(jù)對頂角的性質(zhì)，可得∠PEQ=∠OEB=40°+

1

2

α，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得答案．

解答：解：（1）40°；
（2）不變，理由如下：
∵CB∥OA，
∴∠OCB=∠COA，∠OFB=∠FOA，
∵∠FOC=∠AOC，
∴∠COA=

1

2

∠FOA，即∠OCB：∠OFB=1：2．
（3）∠EPQ=50°-

1

2

α，
理由：當(dāng)點(diǎn)P在線段OE上時(shí)，如圖1：
，
∵∠B+∠BOF+∠BFO=180°，且∠B=100°，∠OFB=α，
∴∠BOF=180°-100°-α=80°-α
∵OE平分∠BOF，∴∠EOF=

1

2

∠BOF
即∠EOF=

1

2

（80°-α）=40°-

1

2

α
∵∠OEB=∠EOF+∠OFB=40°-

1

2

α+α=40°+

1

2

α
∴∠EPQ=90°-∠OEB=90°-（40°+

1

2

∠α）=50°-

1

2

α
即∠EPQ=50°-

1

2

α
當(dāng)點(diǎn)P在線段OE的延長線上時(shí)，如圖2：
，
由上述說理過程知：∠OEB=40°+

1

2

α
∵∠PEQ=∠OEB=40°+

1

2

α
∴∠EPQ=90°-∠PEQ=90°-（40°+

1

2

∠α）=50°-

1

2

α
即∠EPQ=50°-

1

2

α
綜上所述：∠EPQ=50°-

1

2

α．

點(diǎn)評：本題考查了平行線的性質(zhì)，利用了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)．