Question

【題目】（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD為∠BAC的平分線交BC于D，求證：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，連接DE）

（2）如圖2，當(dāng)∠C≠90°時(shí)，其他條件不變，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)果，不需要證明．

（3）如圖3，當(dāng)∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B ，AD為△ABC的外角∠CAF的平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則線段 AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）AB＝AC＋CD；（3）AB＝CD﹣AC

【解析】試題分析：（1）在AB上截取AE=AC，連接DE，根據(jù)角平分線的定義得到∠1=∠2．推出△ACD≌△AED（SAS）．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AED=∠C=90，CD=ED，根據(jù)已知條件得到∠B=45°．求得∠EDB=∠B=45°．得到DE=BE，等量代換得到CD=BE．即可得到結(jié)論；

（2）在AC取一點(diǎn)E使AB=AE，連接DE，易證△ABD≌△AED，所以∠B=∠AED，BD=DE，又因?yàn)椤?/span>B=2∠C，所以∠AED=2∠C，因?yàn)椤?/span>AED是△EDC的外角，所以∠EDC=∠C，所以ED=EC，BD=EC，進(jìn)而可證明AB+BD=AE+EC=AC；

（3）在AB的延長(zhǎng)線AF上取一點(diǎn)E，使得AE=AC，連接DE．證明△ACD≌△AED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DE=BE，BE=CD，即可得出結(jié)論．

試題解析：（1）證明：在AB上取一點(diǎn)E，使AE=AC

∵AD為∠BAC的平分線

∴∠BAD=∠CAD．

在△ACD和△AED中，

∴△ACD≌△AED（SAS）．

∴∠AED=∠C=90°，CD=ED，

又∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，

∴∠B=45°． ∴∠EDB=∠B=45°．

∴DE=BE， ∴CD=BE．

∵AB=AE＋BE， ∴AB=AC＋CD．

（2）證明：在AB取一點(diǎn)E使AC=AE，

在△ACD和△AED中，

,

∴△ACD≌△AED，

∴∠C=∠AED，CD=DE，

又∵∠C=2∠B，

∴∠AED=2∠B，

∵∠AED是△EDC的外角，

∴∠EDB=∠B，

∴ED=EB，

∴CD=EB，

∴AB=AC+CD；

（3）猜想：AB=CD﹣AC

證明：在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使得AE=AC，連接DE，

在△ACD和△AED中，

，

∴△ACD≌△AED（SAS），

∴∠ACD=∠AED，CD=DE，

∴∠ACB=∠FED，

又∵∠ACB=2∠B

∴∠FED=2∠B，

又∵∠FED=∠B＋∠EDB，

∴∠EDB=∠B，

∴DE=BE，

∴BE=CD，

∵AB=BE-AE

∴AB=CD﹣AC．