Question

4．（1）已知一元二次方程x²+px+q=0（p²-4q≥0）的兩根為x₁，x₂，求證：x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q．
（2）已知關(guān)于x的一元二次方程x²+4x+a=0的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根x₁，x₂滿足x₁x₂-2x₁-2x₂-5=0，求a的值．
（3）已知拋物線y=x²+px+q與x軸交于A．B兩點(diǎn)，且過點(diǎn)（-1，-1），設(shè)線段AB的長(zhǎng)為d，當(dāng)p為何值時(shí)，d²取得最小值，并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)求根公式得出x₁、x₂的值，再求出兩根的和與積即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，表示出x₁+x₂及x₁•x₂的值，代入x₁x₂-2x₁-2x₂-5=0，求出a即可．
（3）根據(jù)拋物線經(jīng)過點(diǎn)（-1，-1），用含p的式子表示出拋物線解析式，求出兩個(gè)之和，兩根之積，根據(jù)d=|x₁-x₂|，用含p的式子表示出d²，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a=1，b=p，c=q
∴△=b²-4ac=p²-4q≥0
∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
∴方程的解為：x=$\frac{-b±\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{-p±\sqrt{{p}^{2}-4q}}{2}$，
∴x₁+x₂=$\frac{-p+\sqrt{{p}^{2}-4q}}{2}+\frac{-p-\sqrt{{p}^{2}-4q}}{2}=\frac{-2p}{2}=-p$，
x₁•x₂=$\frac{-p+\sqrt{{p}^{2}-4q}}{2}•\frac{-p-\sqrt{{p}^{2}-4q}}{2}=\frac{{p}^{2}-（p2-4q）}{4}$=$\frac{4q}{4}=q$．
（2）解：∵方程x²+4x+a=0的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=$-\frac{a}=-\frac{4}{1}=-4$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}=a$，
將其代入x₁x₂-2x₁-2x₂-5=0，得：a-2×（-4）-5=0，解得：a=-3．
（3）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（-1，-1），
∴1-p+q=-1，解得q=-2+p，
∴拋物線解析式為：y=x²+px+-2+p，
∴x₁+x₂=$-\frac{a}=-p$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$=-2+p，
∵線段AB的長(zhǎng)度d=|x₁-x₂|，
∴d²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4 x₁•x₂=p²+8-4p=（p-2）²+4≥4，
∴當(dāng)p=2時(shí)，d²有最小值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系、拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、求根公式等，熟記相關(guān)的公式是解決此題的關(guān)，其中第（3）小題中，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出d²是解決此題的關(guān)鍵．