Question

13．設(shè)a，b，c是△ABC的三條邊，關(guān)于x的方程x²+x+c-a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，方程3cx+2b=2a的根為x=0．
（1）試判斷△ABC的形狀．
（2）若a，b為方程x²+mx-3m=0的兩個(gè)根，求m的值．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)榉匠逃袃蓚�(gè)相等的實(shí)數(shù)根即△=0，由△=0可以得到一個(gè)關(guān)于a，c的方程，再結(jié)合方程3cx+2b=2a的根為x=0，代入即可得到一關(guān)于a，b的方程，聯(lián)立即可求出a，b，c的關(guān)系；
（2）根據(jù)（1）求出的a，b的值，可以關(guān)于m的方程，解方程即可求出m．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的方程x²+x+c-a=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=1-4×（c-a）=0，
整理得4a-4c+1=0 ①，
∴a≠c，
又∵3cx+2b=2a的根為x=0，
∴a=b ②，
∴△ABC為等腰三角形；
（2）a，b是方程x²+mx-3m=0的兩個(gè)根，
∴方程x²+mx-3m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=m²-4×（-3m）=0，
即m²+12m=0，
∴m₁=0，m₂=-12．
當(dāng)m=0時(shí)，原方程的解為x=0（不符合題意，舍去），
∴m=-12．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的根判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．