Question

1．已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與直線y=1交于C、D兩點(diǎn)，且點(diǎn)A（1，0），C（0，1）
（1）c=1；
（2）求a的取值范圍；
（3）設(shè)A，B，C，D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的對角線相交于點(diǎn)P，記△PCD的面積為S₁，△PAB的面積為S₂，求S₁-S₂的值（可以用a表示）．

Answer 1

分析 （1）把C（0，1）代入拋物線即可求出c；
（2）把A（1，0）代入得到0=a+b+1，推出b=-1-a，求出方程ax²+bx+1=0，根據(jù)判別式△=b²-4ac＞0即可求解；
（3）根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)的求法，求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，求出線段AB的長度，把y=1代入拋物線得到方程ax²+（-1-a）x+1=1，求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，求出線段CD的長度，過點(diǎn)P作MN⊥CD于M，交x軸于N，根據(jù)△CPD∽△BPA，得出兩個三角形的高PN、PM的長，根據(jù)三角形的面積公式即可求出S₁-S₂的值即可．

解答 （1）解：把C（0，1）代入拋物線得：1=0+0+c，
解得：c=1．
故答案為：1．
（2）解：根據(jù)點(diǎn)A（1，0）在二次函數(shù)y=ax²+bx+1上，可得：0=a+b+1，
∴b=-1-a，
即ax²+（-1-a）x+1=0，
根據(jù)拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，可得：b²-4ac=（-1-a）²-4a=a²-2a+1＞0，
∴a≠1，
即：a的取值范圍是a＞0，且a≠1；
（3）證明：∵ax²+（-1-a）x+1=0，
∴（ax-1）（x-1）=0，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)是（$\frac{1}{a}$，0）而A點(diǎn)坐標(biāo)（1，0）
∴AB=$\frac{1}{a}-1=\frac{1-a}{a}$，
把y=1代入拋物線得：ax²+（-1-a）x+1=1，
解得：x₁=0，x₂=$\frac{1+a}{a}$，
∴CD=$\frac{1+a}{a}$，
如圖，過P作MN⊥CD于M，交x軸于N，
則MN⊥X軸，
∵CD∥AB，
∴△CPD∽△BPA，
∴$\frac{PM}{PN}=\frac{CD}{AB}$，即：$\frac{1-PN}{PN}=\frac{\frac{1+a}{a}}{\frac{1-a}{a}}=\frac{1+a}{1-a}$，
解得：PN=$\frac{1-a}{2}$，PM=$\frac{1+a}{2}$，
∴S₁-S₂=$\frac{1}{2}•CD•PM-\frac{1}{2}•AB•PN$=$\frac{1}{2}•\frac{1+a}{a}•\frac{1+a}{2}-\frac{1}{2}•\frac{1-a}{a}•\frac{1-a}{2}$=1．

點(diǎn)評 本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，第（3）小題，根據(jù)相似求出三角形的高是解決此題的關(guān)鍵．