Question

如圖，已知△ABD和△AEC中，AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，CD、BE相交于點P．
（1）△ABE經(jīng)過怎樣的運動可以與△ADC重合；
（2）用全等三角形判定方法證明：BE=DC；
（3）求∠BPC的度數(shù)；
（4）在（3）的基礎上，小智經(jīng)過深入探究后發(fā)現(xiàn)：射線AP平分∠BPC，請判斷小智的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求得．
（2）先證得∠BAE=∠DAC，然后根據(jù)已知條件即可證得△ABE≌△ADC，進而求得BE=DC；
（3）由于△ABE≌△ADC，所以∠ABE=∠ADC，所以∠AFD=∠PFB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠BPD=∠DAB=60°，所以∠BPC=120°；
（4）作AM⊥CD，AN⊥BE，先證得△ADM≌△ABN，再證得Rt△APM≌Rt△APN，即可求得．

解答：（1）證明：∵∠DAB=∠EAC=60°，
∴△ABE繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°可以與△ADC重合；
（2）證明：∵∠DAB=∠EAC=60°，
∴，∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠BAE=∠DAC，
在△BAE與△DAC中，

AB=AD ∠BAE=∠DAC AE=AC

，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=DC；
（3）解：∵△ABE≌△ADC
∴∠ABE=∠ADC，
設BE與DC相交于F，
∴∠AFD=∠PFB，
∴∠BPD=∠DAB=60°，
∴∠BPC=120°；
（4）證明：作AM⊥CD，AN⊥BE，垂足分別為M、N，
∴∠AMD=∠ANB=90°，
在△AMD與△ANB中，

∠ABE=∠ADC ∠AMD=∠ANB=90° AD=AB

∴△ADM≌△ABN（AAS），
∴AM=AN，
在RT△AMP與RT△ANP中

AM=AN AP=AP

∴Rt△APM≌Rt△APN（HL），
∴∠APM=∠APN，
∴PA平分∠DPE．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形全等的判定以及三角形內(nèi)角和的性質(zhì)等．