Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在x軸的負半軸上，B（5，0），點C在y軸的負半軸上，且OB=OC，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A、B、C三點．
（1）求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式和對稱軸；
（2）P是拋物線對稱軸上一點，當(dāng)AP⊥CP時，求點P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)E（x，y）是拋物線對稱軸右側(cè)上一動點，且位于第四象限，四邊形OEBF是以O(shè)B為對角線的平行四邊形．求?OEBF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；當(dāng)?OEBF的面積為

175

4

時，判斷并說明?OEBF是否為菱形？

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)OB=OC求出點C坐標(biāo)，將B、C坐標(biāo)代入解析式坐標(biāo)，求出b，c的值，繼而可得出拋物線的函數(shù)關(guān)系式和對稱軸；
（2）設(shè)P（2，-m），過點C作CN⊥拋物線對稱軸于點N，根據(jù)AP⊥CP，利用相似三角形的性質(zhì)求出點P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點E（x，x²-4x-5），根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得四邊形OEBF的面積=2S_△OBE，代入可求得?OEBF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，然后將面積為

175

4

代入求出x的值，然后證明四邊形OEBF為菱形．

解答：解：（1）由題意，得C（0，-5），
∵拋物線過點B、C，
代入得：

25+5b+c=0 c=-5

，
解得：

b=-4 c=-5

，
∴拋物線的解析式為：y=x²-4x-5，
∴對稱軸為直線x=2；

（2）如圖1，設(shè)P（2，-m）（m＞0），
由解析式可得點A坐標(biāo)為：（-1，0），
設(shè)拋物線對稱軸交x軸于點M，過點C作CN⊥拋物線對稱軸于點N，
∵AP⊥CP，∠AMP=90°，∠PNC=90°，
∴Rt△AMP∽Rt△PNC，
∴

MP

CN

=

PN

AM

，
∴

m

2

=

5-m

3

，
解得：m₁=2，m₂=3，
∴點P₁（2，-2），P₂（2，-3）；

（3）如圖2，設(shè)點E（x，x²-4x-5），
則S_{四邊形OEBF}=2S_△OBE=2×

1

2

×OB×（-x²+4x+5）=-5x²+20x+25，
其中：2＜x＜5，
當(dāng)S_{四邊形OEBF}=

175

4

時，
代入可得：

175

4

=-5x²+20x+25，
∴x₁=

5

2

，x₂=

3

2

（舍去），
∵OB=5，點E的橫坐標(biāo)為

5

2

，
∴點E在線段OB的中垂線上，
∴OE=BE，
∴平行四邊形OEBF是菱形．

點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)的對稱軸交點坐標(biāo)的求法等知識．此題難度適中，解題時注意仔細分析題意，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．