Question

直線y=x+b與雙曲線y=

m

x

交于點(diǎn)A（-1，-5）．并分別與x軸、y軸交于點(diǎn)C、B．
（1）直接寫出b=

 

，m=

 

；
（2）根據(jù)圖象直接寫出不等式x+b＜

m

x

的解集為

 

；
（3）若點(diǎn)D在x軸的正半軸上，是否存在以點(diǎn)D、C、B構(gòu)成的三角形與△OAB相似？若存在，請(qǐng)求出D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把A的坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，即可求得b和m的值；
（2）根據(jù)圖象即可直接寫出，即反比例函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象上部的部分x的取值；
（3）求得△OAB的邊長(zhǎng)，點(diǎn)D在x軸的正半軸上，可以分D在線段OC上（不在O點(diǎn)）或線段OC的延長(zhǎng)線上兩種情況討論，依據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求得．

解答：解：（1）把A（-1，-5）代入y=x+b得：-5=-1+b，解得：b=-4．
把A（-1，-5）代入y=

m

x

，得：m=（-1）（-5）=5．
故答案是：-4，5；
（2）解集為：x＜-1或0＜x＜5，
故答案是：x＜-1或0＜x＜5；
（3）OA=

12+52

=

26

，
在y=x-4中，令x=0，解得y=-4，則B的坐標(biāo)是（0，-4）．
令y=0，解得：x=4，則C的坐標(biāo)是（4，0）．
故OB=4，AB=

12+(5-4)2

=

2

，BC=4

2

，OC=4．
∴OB=OC，即△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OCB=∠OBC=45°，∠BCE=135°．
過(guò)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D．則△ABD是等腰直角△，∠ABD=45°，∠ABO=135°．
1）當(dāng)D在線段OC（不與O重合）上時(shí)，兩個(gè)三角形一定不能相似；
2）當(dāng)D在線段OC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)D的坐標(biāo)是（x，0），則CD=x-4，
∠ABO=∠BCD=135°，
當(dāng)△AOB∽△DBC時(shí)，

OB

CB

=

AB

DC

，即

4

4 2

=

2

x-4

，
解得：x=6，
則D的坐標(biāo)是（6，0）；
當(dāng)△AOB∽△BDC時(shí)，

OB

DC

=

AB

BC

，即

4

x-4

=

2

4 2

，
解得：x=20，
則D的坐標(biāo)是（20，0）．
則D的坐標(biāo)是（6，0）或（20，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)、反比例函數(shù)與相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，注意到∠ABO=∠BCD=135°是本題的關(guān)鍵．