Question

10．2016年跳水世界杯，于2月19日至24日在巴西里約舉行，中國隊取得佳績．優(yōu)秀成績的取得離不開艱辛的訓(xùn)練，某跳水運動員在進行跳水訓(xùn)練時，身體（看成一點）在空中的運動路線是如圖所示的一條拋物線，已知跳板AB長為2米，跳板距水面CD的高BC為3米，訓(xùn)練時跳水曲線在離起跳點水平距離1米時達到距水面最大高度k米，現(xiàn)以CD為橫軸，BC為縱軸建立直角坐標(biāo)系．
（1）當(dāng)k=4時，求這條拋物線的解析式；
（2）當(dāng)k=4時，求運動員落水點與點C的距離；
（3）圖中CE=$\frac{19}{4}$米，CF=$\frac{21}{4}$米，若跳水運動員在區(qū)域EF內(nèi)（含點E，F(xiàn)）入水時才能達到訓(xùn)練要求，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線頂點坐標(biāo)M（3，4），可設(shè)拋物線解析為：y=a（x-3）²+4，將點A（2，3）代入可得；
（2）在（1）中函數(shù)解析式中令y=0，求出x即可；
（3）若跳水運動員在區(qū)域EF內(nèi)（含點E，F(xiàn)）入水達到訓(xùn)練要求，則在函數(shù)y=a（x-3）²+k中當(dāng)x=$\frac{19}{4}$時y＞0，且x=$\frac{21}{4}$時y＜0，解不等式即可得．

解答 解：（1）如圖所示：

根據(jù)題意，可得拋物線頂點坐標(biāo)M（3，4），A（2，3）
設(shè)拋物線解析為：y=a（x-3）²+4，
則3=a（2-3）²+4，
解得：a=-1，
故拋物線解析式為：y=-（x-3）²+4；
（2）由題意可得：當(dāng)y=0，則0=-（x-3）²+4，
解得：x₁=1，x₂=5，
故拋物線與x軸交點為：（5，0），
當(dāng)k=4時，求運動員落水點與點C的距離為5米；
（3）根據(jù)題意，拋物線解析式為：y=a（x-3）²+k，
將點A（2，3）代入可得：a+k=3，即a=3-k
若跳水運動員在區(qū)域EF內(nèi)（含點E，F(xiàn)）入水，
則當(dāng)x=$\frac{19}{4}$時，y=$\frac{49}{16}$a+k≥0，即$\frac{49}{16}$（3-k）+k≥0，
解得：k≤$\frac{49}{11}$，
當(dāng)x=$\frac{21}{4}$時，y=$\frac{81}{16}$a+k≤0，即$\frac{81}{16}$（3-k）+k≤0，
解得：k≥$\frac{243}{65}$，
故$\frac{243}{65}$≤k≤$\frac{49}{11}$．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意利用頂點式求出二次函數(shù)解析式是解題基礎(chǔ)，判斷入水的位置對應(yīng)的拋物線上點的坐標(biāo)特點是解題關(guān)鍵．