Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊DA與y軸正半軸重合，D與原點(diǎn)重合．且AD=2，AB=1，以DB為對(duì)稱軸，將Rt△ADB翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，過(guò)E點(diǎn)作EM⊥x軸，垂足是M，另有一點(diǎn)F與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
（1）求E點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）在雙曲線y=$\frac{10}{13x}$上是否存在這樣的點(diǎn)G，使得S_△BOM=S_△GFM．

Answer 1

分析 （1）證得RT△BEH≌RT△OCH，得出CH=EH，設(shè)EH=x，則BH=2-x，在RT△BEH中，根據(jù)勾股定理得出即1²+x²=（2-x）²，解得x=$\frac{3}{4}$，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理即可求得OM和EM，得出E的坐標(biāo)；
（2）求得直線FM的直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得出點(diǎn)G到直線FM的距離，然后根據(jù)三角形面積公式得出關(guān)于x的方程，解方程即可求得．

解答 解：（1）∵OA∥BC，
∴∠AOB=∠OBC，
∵∠AOB=∠BOE，
∴∠OBC=∠BOE，
∴OH=DH，
在RT△BEH和RT△OCH中
$\left\{\begin{array}{l}{DH=OH}\\{BE=OC}\end{array}\right.$
∴RT△BEH≌RT△OCH（HL），
∴CH=EH，
設(shè)EH=x，則BH=2-x，
在RT△BEH中，BE²+EH²=BH²，
即1²+x²=（2-x）²，解得x=$\frac{3}{4}$，
∴CH=EH=$\frac{3}{4}$，OH=DH=$\frac{5}{4}$，
∵EM⊥x軸，
∴EM∥BC，
∴$\frac{OH}{OE}$=$\frac{CH}{EM}$=$\frac{OC}{OM}$，即$\frac{\frac{5}{4}}{2}$=$\frac{\frac{3}{4}}{EM}$=$\frac{1}{OM}$
∴EM=$\frac{6}{5}$，OM=$\frac{8}{5}$，
∴M（$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$）；
（2）∵OM=$\frac{8}{5}$，BC=2，
∴M（$\frac{8}{5}$，0），S_△BOM=$\frac{1}{2}$OM•BC=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{5}$×2=$\frac{8}{5}$，
∵AD=2，AB=1，
∴B（1，2），
∵點(diǎn)F與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴F（-1，-2），
∴MF=$\sqrt{（\frac{8}{5}+1）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{\sqrt{269}}{5}$，
設(shè)直線FM的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=-2}\\{\frac{8}{5}k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{10}{13}}\\{b=-\frac{16}{13}}\end{array}\right.$，
∴直線FM的解析式為y=$\frac{10}{13}$x-$\frac{16}{13}$，
∴直線方程為10x-13y-16=0，
設(shè)存在點(diǎn)G（x，$\frac{10}{13x}$），使得S_△BOM=S_△GFM．
那么，點(diǎn)G到直線FM的距離為：d=$\frac{|10x-\frac{10}{x}-16|}{\sqrt{1{0}^{2}+1{3}^{2}}}$=$\frac{|10x-\frac{10}{x}-16}{\sqrt{269}}$，
∴$\frac{1}{2}$MF•d=$\frac{8}{5}$，
即$\frac{1}{2}$×$\frac{|10x-\frac{10}{x}-16}{\sqrt{269}}$×$\frac{\sqrt{269}}{5}$=$\frac{8}{5}$，
整理得|10x-$\frac{10}{x}$-16|=16，
當(dāng)10x-$\frac{10}{x}$-16=16，解得x=$\frac{8±2\sqrt{41}}{5}$，
當(dāng)10x-$\frac{10}{x}$-16=-16，解得x=±1，
故在雙曲線y=$\frac{10}{13x}$上存在這樣的點(diǎn)G，使得S_△BOM=S_△GFM，此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（$\frac{8+2\sqrt{41}}{5}$，$\frac{-4+\sqrt{41}}{13}$）或（$\frac{8-2\sqrt{41}}{5}$，$\frac{-4-\sqrt{41}}{13}$）或（1，$\frac{10}{13}$）或（-1，-$\frac{10}{13}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式勾股定理的應(yīng)用，平行線分線段成比例定理，點(diǎn)到直線的距離公式等．