Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點P的坐標(biāo)是（n，0）（n＞0），拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過原點O和點P．已知正方形ABCD的三個頂點為A（4，4），B（6，4），D（4，6）．
（1）請用含有n的代數(shù)式表示拋物線的解析式為y=

 

．
（2）若直線AD與拋物線交于點N，與x軸交于點M，tan∠NOP=2，當(dāng)點Q（m，2m-5）在第一象限的拋物線上時，求Q點及其關(guān)于直線MN對稱點Q′的坐標(biāo)；
（3）若拋物線經(jīng)過正方形區(qū)域ABCD（含邊界），請直接寫出n的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）應(yīng)用待定系數(shù)法即可求得．
（2）根據(jù)tan∠NOP=

NM

OM

=2求得N（4，8），進(jìn)而求得拋物線的解析式，根據(jù)Q（m，2m-5）在拋物線上，可求得m的值，從而求得Q的坐標(biāo)，即可求得關(guān)于直線MN對稱點Q′的坐標(biāo)．
（3）將A（4，4），C（6，6）分別代入y=-x²+nx；即可求得．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過原點O和點P（n，0）．
∴

c=0 -n2+nb+c=0

 解得

b=n c=0

∴y=-x²+nx；

（2）∵在Rt△OMN中tan∠NOP=2，而tan∠NOP=

NM

OM

，
∵AD⊥x軸，A（4，4），D（4，6），
∴OM=4，MN=8，N（4，8），
∴將點N的坐標(biāo)代入y=-x²+nx，得n=6，
即y=-x²+6x，
∵Q（m，2m-5）在拋物線上，
∴2m-5=-m²+6m，
即m²-4m-5=0，
∴m=5或m=-1，
∵點Q在第一象限，
∴Q（5，5），
∵直線MN為x=4，
∴點Q關(guān)于直線MN對稱的點的坐標(biāo)為Q′（3，5）；

（3）5≤n≤7．
∵把A（4，4）代入y=-x²+nx得：4=-16+4n，解得：n=5，
把C（6，6）代入y=-x²+nx得：6=-36+6n，解得：n=7，
∴5≤n≤7．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，三角函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)于直線對稱的性質(zhì)以及解不等式的知識等．