Question

8．提出問題：
  （1）如圖1，將長方形紙片剪兩刀，其中AB∥CD，則∠2與∠1、∠3度數(shù)之間有何等量關(guān)系？請說明你的理由．
類比探究：
  （2）如圖②，將長方形紙片剪四刀，其中AB∥CD，則∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的度數(shù)之間的等量關(guān)系為是∠2+∠4=∠1+∠3+∠5．
綜合應用
  （3）如圖③，直線AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，則∠GHM=40°．
  （4）如圖④，直線AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD=55°，則∠BED=110°．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，結(jié)論∠2=∠1+∠3，作EF∥AB，利用平行線的性質(zhì)即可證明．
（2）如圖2中，作GM∥AB，F(xiàn)N∥AB，結(jié)論∠2+∠4=∠1+∠3+∠5，利用平行線的性質(zhì)即可證明．
（3）如圖3中，作KG∥AB，HP∥AB，MN與HP交于點T，利用平行線的性質(zhì)即可解決．
（4）直接利用（1）的結(jié)論可以解決．

解答 解：（1）如圖1中，作EF∥AB，

∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠1=∠AEF，∠3=∠CEF，
∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠1+∠3，
即∠2=∠1+∠3．
（2）如圖2中，作GM∥AB，F(xiàn)N∥AB，

∵AB∥CD，GM∥AB．FN∥AB，
∴AB∥GM∥FN∥CD，
∴∠1=∠AEH，∠HEG=∠EGM，∠MGF=∠GFN，∠NFC=∠5，
∴∠AEG+∠GFC=∠1+∠EGF+∠5，
即∠2+∠4=∠1+∠3+∠5．
故答案為∠2+∠4=∠1+∠3+∠5．
（也可以利用（2）的結(jié)論解決問題，比較簡單）
（3）如圖3中，作KG∥AB，HP∥AB，MN與HP交于點T．

∵AB∥CD，KG∥AB，HP∥AB，
∴AB∥KG∥PH∥CD，
∴∠FGH=∠EFA=30°，∵∠FGH=90°
∴∠KGH=60°
∴∠KGH=∠GHP=60°，∠HTM=∠CNQ=50°，
∵∠HTN=∠PHM+∠M，∠M=30°，
∴∠PHM=20°，
∴∠GHM∠PHG-∠PHM=40°．
故答案為40°
（4）如圖4中，

由（1）可知：∠F=∠ABF+∠CDF，∠E=∠ABE+∠CDE，
∵∠F=55°，
∴∠ABF+∠CDF=55°，
∵∠ABE=2∠ABF，∠CDE=2∠CDF，
∴∠E=2（∠ABF+∠CDF）=110°．
故答案為110°．

點評 本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線利用平行線的性質(zhì)解決問題，屬于中考常考題型．