Question

13．如圖1，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB，異于C，B的動點D在CB邊上，DE⊥AD．
（1）求證：∠1=∠2；
（2）如圖2，BE⊥BA交BE于E，求證：AD=DE．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形的性質(zhì)得出∠1+∠3=90°，求出∠2+∠3=90°，即可得出∠1=∠2；
（2）在AC上截取CF=CD，連接DF，得出AF=BD，證出△CFD和△CAB都是等腰直角三角形，求出∠DBE=∠AFD=135°，由AAS證明△AFD≌△BDE，得出對應邊相等即可．

解答 （1）證明：∵∠C=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵DE⊥AD，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2；
（2）證明：在AC上截取CF=CD，連接DF，如圖所示：
∵AC=CB，
∴AF=BD，
由（1）得：∠1=∠2，∵CF=CD，AC=BC，
∴△CFD和△CAB都是等腰直角三角形，
∴∠CFD=∠CDF=∠CBA=∠CAB=45°，
∴∠DBE=∠AFD=135°，
在△AFD和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠DBE=∠AFD}\\{AF=BD}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△BDE（AAS），
∴AD=DE．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識；本題有一定難度，需要通過作輔助線證明三角形全等才能得出結(jié)論．