Question

3．如圖，在等腰△ABC中，CB=CA，延長AB至點(diǎn)D，使DB=CB，連接CD，以CD為邊作等腰△CDE，使CE=CD，∠ECD=∠BCA，連接BE交CD于點(diǎn)M．
（1）BE=AD嗎？請(qǐng)說明理由；
（2）若∠ACB=40°，求∠DBE的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出∠BCE=∠ACD，根據(jù)SAS證出△BCE≌△ACD，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠A=∠ABC=70°，由△BCE≌△ACD，得出對(duì)應(yīng)角相等∠EBC=∠A=70°，再由三角形的外角性質(zhì)得出∠DBE=∠ACB=40°即可．

解答 （1）解：BE=AD；理由如下：
∵∠ECD=∠BCA，
∴∠ECD+∠BCD=∠BCA+∠BCD，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}&{\;}\\{∠BCE=∠ACD}&{\;}\\{CE=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD．
（2）解：∵CB=CA，∠ACB=40°，
∴∠A=∠ABC=70°，
由（1）得：△BCE≌△ACD，
∴∠EBC=∠A=70°，
∵∠DBC=∠DBE+∠EBC=∠ACB+∠ACB，
∴∠DBE=∠ACB=40°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．