Question

2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E．
（1）如圖1，連接CE，求證：△BCE是等邊三角形；
（2）如圖2，點M為CE上一點，連結BM，作等邊△BMN，連接EN，求證：EN∥BC；
（3）如圖3，點P為線段AD上一點，連結BP，作∠BPQ=60°，PQ交DE延長線于Q，探究線段PD，DQ與AD之間的數量關系，并證明．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形的性質得出∠ABC=60°，由角平分線的定義得出∠A=∠DBA，證出AD=BD，由線段垂直平分線的性質得出AE=BE，由直角三角形斜邊上的中線性質得出CE=$\frac{1}{2}$AB=BE，即可得出結論；
（2）由等邊三角形的性質得出BC=BE，BM=BN，∠EBC=∠MBN=60°，證出∠CBM=∠EBN，由SAS證明△CBM≌△EBN，得出∠BEN=∠BCM=60°，得出∠BEN=∠EBC，即可得出結論；
（3）延長BD至F，使DF=PD，連接PF，證出△PDF為等邊三角形，得出PF=PD=DF，∠F=∠PDQ=60°，得到∠F=∠PDQ=60°，證出∠Q=∠PBF，由AAS證明△PFB≌△PDQ，得出DQ=BF=BD+DF=BD+DP，證出AD=BD，即可得出結論．

解答 （1）證明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵BD是△ABC的角平分線，
∴∠DBA=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴∠A=∠DBA，
∴AD=BD，
∵DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=BE，
∴△BCE是等邊三角形；
（2）證明：∵△BCE與△MNB都是等邊三角形，
∴BC=BE，BM=BN，∠EBC=∠MBN=60°，
∴∠CBM=∠EBN，
在△CBM和△EBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BE}\\{∠CBM=∠EBN}\\{BM=BN}\end{array}\right.$，
∴△CBM≌△EBN（SAS），
∴∠BEN=∠BCM=60°，
∴∠BEN=∠EBC，
∴EN∥BC；
（3）解：DQ=AD+DP；理由如下：
延長BD至F，使DF=PD，連接PF，如圖所示：
∵∠PDF=∠BDC=∠A+∠DBA=30°+30°=60°，
∴△PDF為等邊三角形，
∴PF=PD=DF，∠F=60°，
∵∠PDQ=90°-∠A=60°，
∴∠F=∠PDQ=60°，
∴∠BDQ=180°-∠BDC-∠PDQ=60°，
∴∠BPQ=∠BDQ=60°，
∴∠Q=∠PBF，
在△PFB和△PDQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠Q=∠PBF}\\{∠PDQ=∠F}\\{PF=PD}\end{array}\right.$，
∴△PFB≌△PDQ，
∴DQ=BF=BD+DF=BD+DP，
∵∠A=∠ABD，
∴AD=BD，
∴DQ=AD+DP．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、平行線的判定、直角三角形斜邊上的中線性質等知識；本題綜合性強，有一定難度，特別是（3）中，需要通過作輔助線證明等邊三角形和三角形全等才能得出結論．