Question

如圖，直線l經(jīng)過正方形ABCD的頂點A，先分別過此正方形的頂點B、D作BE⊥l于點E、DF⊥l于點F．然后再以正方形對角線的交點O為端點，引兩條相互垂直的射線分別與AD，CD交于G，H兩點．若EF=2

5

，S_△ABE=2，則線段GH長度的最小值是

 

．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，∠BAD=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAE=∠ADF，再利用“角角邊”證明△ABE和△DAF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=AF，設(shè)AE=x，BE=y，然后列出方程組求出x、y的值，再利用勾股定理列式求出正方形的邊長AB，根據(jù)正方形的對角線平分一組對角可得∠OAG=∠ODH=45°，根據(jù)同角的余角相等求出∠AOG=∠DOH，然后利用“角邊角”證明△AOG和△DOH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OG=OH，判斷出△OGH是等腰直角三角形，再根據(jù)垂線段最短和等腰直角三角形的性質(zhì)可得OH⊥CD時GH最短，然后求解即可．

解答：解：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
∵DF⊥l，
∴∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△ABE和△DAF中，

∠BAE=∠ADF ∠AFD=∠BEA=90° AB=AD

，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴BE=AF，
設(shè)AE=x，BE=y，
∵EF=2

5

，S_△ABE=2，
∴

x+y=2 5 1 2 xy=2

，
消掉y并整理得，x²-2

5

x+4=0，
解得x₁=

5

-1，x₂=

5

+1，
當(dāng)x₁=

5

-1，y₁=

5

+1，
當(dāng)x₂=

5

+1，y₂=

5

-1，
∴由勾股定理得，AB=

( 5 -1)2+( 5 +1)2

=2

3

，
在正方形ABCD中，∠OAG=∠ODH=45°，OA=OD，∠AOD=90°，
∴∠AOG+∠DOG=90°，
∵OG⊥OH，
∴∠DOH+∠DOG=90°，
∴∠AOG=∠DOH，
在△AOG和△DOH中，

∠AOG=∠DOH OA=OD ∠OAG=∠ODH

，
∴△AOG≌△DOH（ASA），
∴OG=OH，
∴△OGH是等腰直角三角形，
由垂線段最短可得，OH⊥CD時OH最短，GH也最短，
此時，GH的最小值為

2

×

2 3

2

=

6

．
故答案為：

6

．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，難點在于多次證明三角形全等并判斷出GH長度最小時的情況．