Question

【題目】拋物線y＝ax2+2ax+c（a＞0，c＜0），與x軸交于A、B兩點（A在B左側），與y軸交于點C，A點坐標為（﹣3，0），拋物線頂點為D，△ACD的面積為3．

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）點P（m，n）是拋物線第三象限內一點，P關于原點的對稱點Q在第一象限內，當QB2取最小值時，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3．（2）當QB2取最小值時，m的值為﹣1﹣．

【解析】

(1)根據S△ACD＝S△AOD＋S△OCD﹣S△AOC構建方程即可解決問題;
(2)構建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質即可解決問題;

解：（1）把A（﹣3，0）代入y＝ax2＋2ax＋c得到c＝﹣3a，

∴拋物線的解析式為y＝ax2＋2ax﹣3a＝a（x＋1）2﹣4a，

∴D（﹣1，﹣4a），C（0，﹣3a），

∵S△ACD＝S△AOD＋S△OCD﹣S△AOC，

∴×3×4a＋×3a×1﹣×3×3a＝15，

解得a＝1，

∴拋物線的解析式為y＝x2＋2x﹣3．

（2）由題意Q（﹣m，﹣n），B（1，0），

∴QB2＝（m＋1）2＋n2，

∵n＝（m＋1）2﹣4，

∴（m＋1）2＝n＋4，

∴QB2＝n＋4＋n2＝（n＋）2＋，

∴n＝﹣時，QB2有最小值，

此時﹣＝（m＋1）2﹣4，

解得m＝﹣1﹣或﹣1＋（舍棄）．

∴當QB2取最小值時，m的值為﹣1﹣．