Question

5．已知：如圖，在△ABC中，AB=3AC，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．設(shè)△ACD的面積是S．
（1）求△ABD的面積；
（2）求證：AD=DE；
（3）探究BE-AC和BD-CD之間的大小關(guān)系并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）過(guò)D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出DM=DN，根據(jù)三角形面積公式求出即可；
（2）延長(zhǎng)AC、BE交于點(diǎn)F，求出△ABE≌△AFE，根據(jù)全等得出AB=AF=3AC，BE=EF，求出S_△ABF=12S，S_△ABE=S_△AFE=6S，S_△BDE=S_△ABD，即可得出答案；
（3）在BD上截取DH=CD，連接EH，證△ADC≌△EDH，根據(jù)全等得出AC=EH，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出即可．

解答 （1）解：過(guò)D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵AD平分∠BAC，
∴DM=DN，
∵_△ABD=$\frac{1}{2}×$AB×DM，S_△ACD=$\frac{1}{2}$×AC×DN，
∵AB=3AC，△ACD的面積是S，
∴△ABD的面積為3S；

（2）證明：
延長(zhǎng)AC、BE交于點(diǎn)F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE，
∵BE⊥AE，
∴∠BEA=∠FEA=90°，
在△ABE和△AFE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠FAE}\\{AE=AE}\\{∠AEB=∠AEF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△AFE（ASA），
∴AB=AF=3AC，BE=EF，
∴S_△ABF=3_△ABC，
∵S_△ABD=3S，
∴S_△ABC=4S，
∴S_△ABF=12S，
∵BE=EF，
∴S_△ABE=S_△AFE=6S，
∴S_△BDE=S_△ABE-S_△ABD=6S-3S=3S=S_△ABD，
∴AD=DE；

（3）BE-AC＜BD-CD，
證明：在BD上截取DH=CD，連接EH，
∵在△ADC和△EDH中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DE}\\{∠ADC=∠EDH}\\{DC=DH}\end{array}\right.$
∴△ADC≌△EDH（SAS），
∴AC=EH，
在△BEH中，BE-EH＜BH，
∴BE-AC＜BD-DH，
即 BE-AC＜BD-CD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系定理，三角形的面積的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．