Question

M為等邊△ABC內(nèi)部一點，且M到三角形的三頂點的長分別為3，4，5，求這個等邊△ABC的面積．

Answer 1

考點：旋轉的性質,等邊三角形的判定與性質,勾股定理的逆定理

專題：計算題

分析：根據(jù)等邊三角形的性質得CA=CB，∠ACB=60°，則可把△CBM繞點C逆時針旋轉60°得到△CAE，如圖，根據(jù)旋轉的性質得CE=CM=4，AE=BM=5，∠ECM=60°，于是可判斷△CME為等邊三角形，則EM=CM=4，∠CME=60°，在△AME中，由于AM²+ME²=AE²，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△AME為直角三角形，即∠AME=90°，可計算出∠AMC=∠AME+∠CME=150°，則∠CMH=30°，作CH⊥AM于H，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系，在Rt△MCH中，計算得到CH=

1

2

MC=2，MH=

3

CH=2

3

，則AH=3+2

3

，然后在Rt△ACH中，根據(jù)勾股定理計算出AC²=25+12

3

，再利用等邊三角形的面積公式求解．

解答：解：如圖，AM=3，CM=4，BM=5，
∵△ACBC為等邊三角形，
∴CA=CB，∠ACB=60°，
∴把△CBM繞點C逆時針旋轉60°得到△CAE，如圖，連結EM，
∴CE=CM=4，AE=BM=5，∠ECM=60°，
∴△CME為等邊三角形，
∴EM=CM=4，∠CME=60°，
在△AME中，AM=3，ME=4，AE=5，
∵3²+4²=5²，
∴AM²+ME²=AE²，
∴△AME為直角三角形，
∴∠AME=90°，
∴∠AMC=∠AME+∠CME=150°，
∴∠CMH=30°，
作CH⊥AM于H，如圖，
在Rt△MCH中，CH=

1

2

MC=2，MH=

3

CH=2

3

，則AH=3+2

3

，
在Rt△ACH中，AC²=AH²+CH²=（3+2

3

）²+2²=25+12

3

，
∴等邊三角形的面積=

3

4

AC²=

3

4

（25+12

3

）=

25 3 +36

4

．

點評：本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質和勾股定理的逆定理．