Question

直角坐標(biāo)系xOy中，有反比例函數(shù)y=

8 3

x

(x＞0)上的一動點P，以點P為圓心的圓始終與y軸相切，設(shè)切點為A
（1）如圖1，⊙P運動到與x軸相切時，求OP²的值．
（2）設(shè)圓P運動時與x軸相交，交點為B、C，如圖2，當(dāng)四邊形ABCP是菱形時，
①求出A、B、C三點的坐標(biāo)．
②設(shè)一拋物線過A、B、C三點，在該拋物線上是否存在點Q，使△QBP的面積是菱形ABCP面積的

1

2

？若存在，求出所有滿足條件的Q點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）當(dāng)⊙P分別與兩坐標(biāo)軸相切時，PA⊥y軸，PK⊥x軸，x軸⊥y軸，且PA=PK，進而得出PK²，即可得出OP²的值；
（2）①連接PB，設(shè)AP=m，過P點向x軸作垂線，垂足為H，則PH=sin60°BP=

3

2

m，P（m，

3

2

m），進而得出答案；
②求直線PB的解析式，利用過A點或C點且平行于PB的直線解析式與拋物線解析式聯(lián)立，列方程組求滿足條件的Q點坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵⊙P分別與兩坐標(biāo)軸相切，
∴PA⊥OA，PK⊥OK．
∴∠PAO=∠OKP=90°．
又∵∠AOK=90°，
∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．
∴四邊形OKPA是矩形．
又∵AP=KP，
∴四邊形OKPA是正方形，
∴OP²=OK²+PK²=2PK•OK=2xy=2×8

3

=16

3

；

（2）①連結(jié)BP，
則AP=BP，由于四邊形ABCP為菱形，所以AB=BP=AP，△ABP為正三角形，
設(shè)AP=m，過P點向x軸作垂線，垂足為H，
則PH=sin60°BP=

3

2

m，P（m，

3

2

m），
將P點坐標(biāo)代入到反比例函數(shù)解析式中，
則

3

2

m²=8

3

，
解得：m=4，（m=-4舍去），
故P（4，2

3

），
則AP=4，OA=2

3

，OB=BH=2，CH=BH=2，
故A（0，2

3

），B（2，0），C（6，0）；

②設(shè)過A、B、C三點的拋物線解析式為y=a（x-2）（x-6），
將A點坐標(biāo)代入得，a=

3

6

，
故解析式為y=

3

6

x2-

4 3

3

x+2

3

，
過A點作BP的平行線l拋物線于點Q，則Q點為所求．
設(shè)BP所在直線解析式為：y=kx+d，
則

2k+d=0 4k+d=2 3

，
解得：

k= 3 d=-2 3

，
故BP所在的直線解析式為：y=

3

x-2

3

，
故直線l的解析式為y=

3

x+2

3

，直線l與拋物線的交點是方程組

y= 3 6 x2- 4 3 3 x+2 3 y= 3 x+2 3

的解，
解得：

x1=0 y1=2 3

，

x2=14 y2=16 3

，
故得Q（0，2

3

），Q（14，16

3

），
同理，過C點作BP的平行線交拋物線于點Q₁，
則設(shè)其解析式為：y=

3

x+e，則0=6

3

+e，解得：e=-6

3

，
故其解析式為：y=

3

x-6

3

，
其直線與拋物線的交點是方程組

y= 3 6 x2- 4 3 3 x+2 3 y= 3 x-6 3

的解，
可求得Q₁（8，2

3

）和（6，0）．
故所求滿足條件的Q點有（0，2

3

），（14，16

3

），（8，2

3

）和（6，0）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用以及二元二次方程組解法和正方形的判定以及菱形的性質(zhì)等知識，關(guān)鍵是由菱形、圓的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合解題．