Question

4．在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA=90°，CB=3，OA=6，BA=3$\sqrt{5}$，分別以O(shè)A，OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系；
（1）直接寫出點B的坐標(biāo)；
（2）已知D、E分別為線段OC，AB上的點，OD=5，$\frac{AE}{BE}$=$\frac{4}{5}$，求直線DE的解析式；
（3）點M是（2）中直線DE上的一動點，點N是坐標(biāo)平面一點，并且以B、C、M、N為頂點的四邊形是菱形，求出點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）過B作BH⊥x軸于H，則OH=BC=3，進而可求得AH的長，在Rt△ABH中，根據(jù)勾股定理即可求出BH的長，由此可得B點坐標(biāo)；
（2）過點B作BH⊥OA，垂足為H，過點E作EF⊥OA，垂足為F．由HB∥EF可知$\frac{EF}{BH}=\frac{AF}{AH}=\frac{4}{9}$，從而可求得：EF=$\frac{8}{3}$，AF=$\frac{4}{3}$，故此可求得點E的坐標(biāo)為（$\frac{14}{3}$，$\frac{8}{3}$），由題意可知點D的坐標(biāo)為（0，5），最后依據(jù)待定系數(shù)法可求得直線DE的解析式y(tǒng)=-$\frac{1}{2}$x+5；
（3）由菱形的性質(zhì)可知MB=MC或CM=BC或BM=CM，然后依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和兩點之間的距離公式列方程求解即可．

解答 解：（1）如圖1所示：作BH⊥x軸于點H．

∵∠COH=∠OCB=∠BHO=90°，
∴四邊形OHBC為矩形．
∴OH=CB=3．
∴AH=OA-OH=6-3=3．
在Rt△ABH中，BH=$\sqrt{B{A}^{2}-A{H}^{2}}=\sqrt{（3\sqrt{5}）^{2}-{3}^{2}}=6$，
∴點B的坐標(biāo)為（3，6）；
（2）如圖2所示：過點B作BH⊥OA，垂足為H，過點E作EF⊥OA，垂足為F．

∵BH⊥OA，EF⊥OA，
∴BH∥EF．
∴$\frac{EF}{BH}=\frac{AF}{AH}=\frac{4}{9}$，即$\frac{EF}{6}=\frac{AF}{3}=\frac{4}{9}$．
解得：EF=$\frac{8}{3}$，AF=$\frac{4}{3}$．
∴OF=OA-AF=6-$\frac{4}{3}$=$\frac{14}{3}$．
∴點E的坐標(biāo)為（$\frac{14}{3}$，$\frac{8}{3}$）．
∵OD=5，
∴點D的坐標(biāo)為（0，5）．
設(shè)DE的解析式為y=kx+b．將點D、E的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{14}{3}k+b=\frac{8}{3}}\\{b=5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=5}\end{array}\right.$．
∴直線DE的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+5；
（3）存在．
①如圖3所示：點M在BC的垂直平分線上．

∵將x=$\frac{3}{2}$，代入y=-$\frac{1}{2}x+5$得：y=$\frac{17}{4}$．
∴點M的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{17}{4}$）．
如圖4、如圖5所示：當(dāng)CM=BC時．

設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，-$\frac{1}{2}x+5$），由兩點間的距離公式可知：$\sqrt{（x-0）^{2}+（-\frac{1}{2}x+5-6）^{2}}$=3．
整理得：5x²+4x-32=0．
解得：${x}_{1}=\frac{-2+2\sqrt{41}}{5}$，${x}_{2}=\frac{-2-2\sqrt{41}}{5}$．
將x=$\frac{-2+2\sqrt{41}}{5}$代入y=-$\frac{1}{2}x+5$得：y=$\frac{26-\sqrt{41}}{5}$，
將x=$\frac{-2-2\sqrt{41}}{5}$代入y=-$\frac{1}{2}x+5$得：y=$\frac{26+\sqrt{41}}{5}$．
∴點M的坐標(biāo)為（$\frac{-2+2\sqrt{41}}{5}$，$\frac{26-\sqrt{41}}{5}$）或（$\frac{-2-2\sqrt{41}}{5}$，$\frac{26+\sqrt{41}}{5}$）．
如圖6、圖7所示：BM=CM．

設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，-$\frac{1}{2}x+5$），由兩點間的距離公式可知：$\sqrt{（x-3）^{2}+（-\frac{1}{2}x+5-6）^{2}}$=3．
整理得：5x²-20x+4=0．
解得：${x}_{1}=\frac{10-4\sqrt{5}}{5}$，${x}_{2}=\frac{10+4\sqrt{5}}{5}$．
將x=$\frac{10-4\sqrt{5}}{5}$代入y=-$\frac{1}{2}x+5$得：y=$\frac{20+2\sqrt{5}}{5}$，
將x=$\frac{10+4\sqrt{5}}{5}$代入y=-$\frac{1}{2}x+5$得，y=$\frac{20-2\sqrt{5}}{5}$．
∴點M的坐標(biāo)為（$\frac{10-4\sqrt{5}}{5}$，$\frac{20+2\sqrt{5}}{5}$）或（$\frac{10+4\sqrt{5}}{5}$，$\frac{20-2\sqrt{5}}{5}$）．
綜上所述，點M的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{17}{4}$）或（$\frac{-2+2\sqrt{41}}{5}$，$\frac{26-\sqrt{41}}{5}$）或（$\frac{-2-2\sqrt{41}}{5}$，$\frac{26+\sqrt{41}}{5}$）或（$\frac{10-4\sqrt{5}}{5}$，$\frac{20+2\sqrt{5}}{5}$）或（$\frac{10+4\sqrt{5}}{5}$，$\frac{20-2\sqrt{5}}{5}$）．

點評 本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用、矩形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用、平行線分線段成比例定理、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、菱形的性質(zhì)、兩點間的距離公式，依據(jù)兩點間的距離公式列出關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．