Question

18．如圖，己知拋物線與x軸分別交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P在直線BC上，且S_△PAC=$\frac{1}{2}$S_△PAB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入解析式得到關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，求解即可得到拋物線解析式；
（2）求得直線BC的解析式，分點(diǎn)P在線段BC上，點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上，進(jìn)一步利用S_△PAC=$\frac{1}{2}$S_△PAB，得點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）設(shè)直線BC的解析式y(tǒng)=kx+b，
代入B（3，0），C（0，3）得y=-x+3，
當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，-x+3）
∵S_△PAC=$\frac{1}{2}$S_△PAB，
∴S_△PAB=$\frac{2}{3}$S_△ABC，
即$\frac{1}{2}$×4×（-x+3）=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×4×3，
解得：x=2，
則點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，1）
當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，-x+3）
∵S_△PAC=$\frac{1}{2}$S_△PAB，
∴S_△PAB=2S_△ABC，
即$\frac{1}{2}$×4×（-x+3）=2×$\frac{1}{2}$×4×3，
解得：x=-3，
則點(diǎn)P坐標(biāo)為（-3，6），
綜上所知點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，1）或（-3，6）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形面積的求法，能夠?qū)⑷�角形的面積比轉(zhuǎn)換為線段的比例關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．