Question

6．如圖，已知△ABC的BC邊的垂直平分線DE與∠BAC的平分線交于點(diǎn)E，EF⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，求證：
（1）BF=CG；
（2）AB+AC=2AG．

Answer 1

分析 （1）連接EB、EC，利用已知條件證明Rt△BEF≌Rt△CEG，即可得到BF=CG；
（2）根據(jù)（1）中的條件證得Rt△AFE≌Rt△AGE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG=AF，于是得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接BE、EC，
∵ED⊥BC，
D為BC中點(diǎn)，
∴BE=EC，
∵EF⊥AB EG⊥AG，
且AE平分∠FAG，
∴FE=EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CE}\\{EF=EG}\end{array}\right.$，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE （HL），
∴BF=CG；

（2）在Rt△AFE與Rt△AGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=EG}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFE≌Rt△AGE，
∴AG=AF，
∵AB+AC=AB+AG+CG=AB+AG+BF=AG+AF=2AG．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練正確全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．