Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，點P在AD上且AP=1．將一塊三角尺頂點放在點P處，三角尺的兩直角邊分別交AB、BC于點E、F．
（1）當點F與點C重合時，

AP

AE

的值為

 

；
（2）探究：將三角尺從圖中的位置開始，繞點p順時針旋轉(zhuǎn)，當點E和點A重合時停止，在這個過程中，設CF=m．試解答：
①用含m的代數(shù)式表示四邊形BEPF的面積，并寫出m的取值范圍；
②連結(jié)BD，交線段PF于點G，當△PDG是直角三角形時，求m的值．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得∠A=∠D=90°，則可根據(jù)等角的余角相等得∠AEP=∠DPC，于是根據(jù)三角形相似的判定得到Rt△APE∽Rt△DCP，利用相似比可得到

AP

AE

的值；
（2）①作FH⊥AD于H，如圖1，與（1）的證明方法一樣可得Rt△APE∽Rt△HFP，利用相似比得到AE=

1

2

（3-m），然后根據(jù)三角形面積公式和四邊形BEPF的面積=S_矩形ABFH-S_△AEP-S_△PHF計算得到四邊形BEPF的面積=-

3

4

m+

17

4

，由于當點E和點A重合時，PF⊥BC，F(xiàn)C最大，此時CF=3，則m的取值范圍為0≤m≤3；
②分類討論：當∠PGD=90°時，易得PE∥BD，根據(jù)三角形相似的判定方法得△AEP∽△ABD，利用相似比得

1 2 (3-m)

2

=

1

4

，解得m=2；當∠DPG=90°時，則PF⊥BC，則FC=3，此時m=3．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AED+∠APE=90°，
∵∠EPC=90°，
∴∠APE+∠DPC=90°，
∴∠AEP=∠DPC，
∴Rt△APE∽Rt△DCP，
∴

AP

DC

=

AE

PD

，
∴

AP

AE

=

DC

PD

=

2

4-1

=

2

3

；
故答案為

2

3

；
（2）①作FH⊥AD于H，如圖1，
與（1）一樣可證明Rt△APE∽Rt△HFP，
∴

AP

HF

=

AE

PH

，即

1

2

=

AE

4-1-m

，
∴AE=

1

2

（3-m），
∴四邊形BEPF的面積=S_矩形ABFH-S_△AEP-S_△PHF
=2（4-m）-

1

2

×1×

1

2

（3-m）-

1

2

×2×（3-m）
=-

3

4

m+

17

4

，
∵當點E和點A重合時，PF⊥BC，
∴此時CF=3，
∴m的取值范圍為0≤m≤3；
②當∠PGD=90°時，
∵∠EPF=∠PGD，
∴PE∥BD，
∴△AEP∽△ABD，
∴

AE

AB

=

AP

AD

，即

1 2 (3-m)

2

=

1

4

，
∴m=2；
當∠DPG=90°時，則PF⊥BC，則FC=3，此時m=3，
∴當△PDG是直角三角形時，m的值為2或3．

點評：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握矩形的性質(zhì)；會運用相似比求線段的長；能利用面積的和差求不規(guī)則圖形的面積．