【題目】如圖,在正方形ABCD中,△BPC是等邊三角形,BP、CP的延長線分別交AD于點EF,連接BD、DP,BDCF相較于點H,給出下列結論:①BE=2AE;②△DFP∽△BPH;③DP2=PH·PC;④若AB=2,則SBPD=;其中正確的是(

A.①②③④B.②③C.①②④D.①③④

【答案】A

【解析】

由等邊三角形的性質和正方形的性質,得到∠ABE=DCF=30°,即可判斷①;利用角的和差關系,根據兩角對應相等,得到△DFP∽△BPH,可以判斷②;由相似三角形的性質,得到,即可判斷③;先得到PMPN的長度,由面積的割補法,即可求出面積,可對④進行判斷;即可得到答案.

解:∵△BPC是等邊三角形,

BP=PC=BC,∠PBC=PCB=BPC=60°,

在正方形ABCD中,

AB=BC=CD,∠A=ADC=BCD=90°

∴∠ABE=DCF=30°,

BE=2AE;故①正確;

PC=CD,∠PCD=30°,

∴∠PDC=75°,

∴∠FDP=15°,

∵∠DBA=45°,

∴∠PBD=15°,

∴∠FDP=PBD

∵∠DFP=BPC=60°,

∴△DFP∽△BPH;故②正確;

∵∠PDH=PCD=30°,∠DPH=DPC

∴△DPH∽△CPD,

,

DP2=PHPC,故③正確;

如圖,過PPMCDPNBC,

∵正方形的邊長AB=2,△BPC為正三角形,

∴∠PBC=PCB=60°,PB=PC=BC=CD=2,

∴∠PCD=30°,

PN=PBsin60°=2×=,PM=PCsin30°=1,

SBPD=S四邊形PBCD-SBCD=SPBC+SPDC-SBCD

;故④正確;

∴正確的結論有:①②③④;

故選:A.

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110

120

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180

160

140


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