Question

17．如圖．已知點B、C、D在同一條直線上．△ABC和△CDE都是等邊三角形，BE交AC于F，AD交CE于H，
（1）求證：△BCE≌△ACD；
（2）求證：CF=CH；
（3）判斷△CFH的形狀并說明理由；
（4）求∠AOE的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用等邊三角形的性質(zhì)得出條件，可證明：△BCE≌△ACD；
（2）利用△BCE≌△ACD得出∠CBF=∠CAH，再運用平角定義得出∠BCF=∠ACH進而得出△BCF≌△ACH因此CF=CH．
（3）由CF=CH和∠ACH=60°根據(jù)“有一個角是60°的三角形是等邊三角形可得△CFH是等邊三角形．
（4）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠CAD+∠CDA=60°，而∠CAD=∠CBE，則∠CBE+∠CDA=60°，然后再利用三角形內(nèi)角和定理即可得到∠BOD=120°，根據(jù)對頂角相等即可得到∠AOE的度數(shù)．

解答 解：（1）∵∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=BD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；
（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF=∠CAH．
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACH=60°．
∴∠BCF=∠ACH，
在△BCF和△ACH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBF=∠CAH}\\{BC=AC}\\{∠BCF=∠ACH}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴CF=CH；
（3）∵CF=CH，∠ACH=60°，
∴△CFH是等邊三角形．
（4）如圖，
∵∠CAD+∠CDA=60°，
而∠CAD=∠CBE，
∴∠CBE+∠CDA=60°，
∴∠BOD=120°，
∴∠AOE=120°．

點評 本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同時還要結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，創(chuàng)造條件證明三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵．