Question

如圖①，已知等腰梯形ABCD的周長為48，面積為S，AB∥CD，∠ADC=60°，設(shè)AB=3x．
（1）用x表示AD和CD；
（2）用x表示S，并求S的最大值；
（3）如圖②，當(dāng)S取最大值時，等腰梯形ABCD的四個頂點都在⊙O上，點E和點F分別是AB和CD的中點，求⊙O的半徑R的值．

Answer 1

考點：圓的綜合題,等腰三角形的性質(zhì),含30度角的直角三角形,勾股定理,垂徑定理

專題：綜合題

分析：（1）作AH⊥CD于H，BG⊥CD于G，如圖①，易得四邊形AHGB為矩形，則HG=AB=3x，再根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得AD=BC，DH=CG，在Rt△ADH中，設(shè)DH=t，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得AD=2t，AH=

3

t，然后根據(jù)等腰梯形ABCD的周長為48得3x+2t+t+3x+t+2t=48，解得t=8-x，于是可得AD=16-2x，CD=16+x；
（2）根據(jù)梯形的面積公式計算可得到S=-2

3

x²+8

3

x+64

3

，再進(jìn)行配方得S=-2

3

（x-2）²+72

3

，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解；
（3）連結(jié)OA、OD，如圖②，由（2）得到x=2時，則AB=6，CD=18，等腰梯形的高為6

3

，所以AE=3，DF=9，由于點E和點F分別是AB和CD的中點，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得直線EF為等腰梯形ABCD的對稱軸，所以EF垂直平分AB和CD，EF為等腰梯形ABCD的高，即EF=6

3

，根據(jù)垂徑定理的推論得等腰梯形ABCD的外接圓的圓心O在EF上，設(shè)OE=a，則OF=6

3

-a，在Rt△AOE中，利用勾股定理得a²+3²=R²，在Rt△ODF中，利用勾股定理得（6

3

-a）²+9²=R²，然后消去R得到a的方程a²+3²=（6

3

-a）²+9²，解得a=5

3

，最后利用R²=（5

3

）²+3²求解．

解答：解：（1）作AH⊥CD于H，BG⊥CD于G，如圖①，
則四邊形AHGB為矩形，
∴HG=AB=3x，
∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴AD=BC，DH=CG，
在Rt△ADH中，設(shè)DH=t，
∵∠ADC=60°，
∴∠DAH=30°，
∴AD=2t，AH=

3

t，
∴BC=2t，CG=t，
∵等腰梯形ABCD的周長為48，
∴3x+2t+t+3x+t+2t=48，解得t=8-x，
∴AD=2（8-x）=16-2x，
CD=8-x+3x+8-x=16+x；
（2）S=

1

2

（AB+CD）•AH
=

1

2

（3x+16+x）•

3

（8-x）
=-2

3

x²+8

3

x+64

3

，
∵S=-2

3

（x-2）²+72

3

，
∴當(dāng)x=2時，S有最大值72

3

；
（3）連結(jié)OA、OD，如圖②，
當(dāng)x=2時，AB=6，CD=16+2=18，等腰梯形的高為

3

×（8-2）=6

3

，
則AE=3，DF=9，
∵點E和點F分別是AB和CD的中點，
∴直線EF為等腰梯形ABCD的對稱軸，
∴EF垂直平分AB和CD，EF為等腰梯形ABCD的高，即EF=6

3

，
∴等腰梯形ABCD的外接圓的圓心O在EF上，
設(shè)OE=a，則OF=6

3

-a，
在Rt△AOE中，
∵OE²+AE²=OA²，
∴a²+3²=R²，
在Rt△ODF中，
∵OF²+DF²=OD²，
∴（6

3

-a）²+9²=R²，
∴a²+3²=（6

3

-a）²+9²，解得a=5

3

，
∴R²=（5

3

）²+3²=84，
∴R=2

21

．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理及其推論和等腰梯形的性質(zhì)；會運用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題；熟練運用勾股定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系進(jìn)行計算．