Question

如圖：AB是半圓的直徑，O是圓心，C、D是半圓上的兩點(diǎn)，若AB=4，弦AC=CD=1．
（1）求證：OC∥BD；
（2）設(shè)∠AOC=α，求sinα的值；
（3）求BD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系,解直角三角形

專題：

分析：（1）先根據(jù)AC=CD=1可得出

AC

=

CD

，故可得出∠AOC=∠ABD，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（2）連接AD，OD，AD和CO相交于E，根據(jù)AC=CD，AO=DO可知四邊形ACDO的對角線AD和CO互相垂直，由勾股定理可知CE²=AC²-AE²，EO²=AO²-AE²，CE+EO=CO=2，根據(jù)AB=4，AC=CD=1可得出AE的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)（2）中AE的長可得出AD的長，△ABD為圓O過直徑的內(nèi)接三角形，再根據(jù)勾股定理即可得出BD的長．

解答：解：（1）∵AC=CD=1，
∴

AC

=

CD

，
∴∠AOC=∠ABD，
∴OC∥BD；

（2）連接AD，OD，AD和CO相交于E
∵AC=CD，AO=DO，
∴四邊形ACDO的對角線AD和CO互相垂直
∴CE²=AC²-AE²，EO²=AO²-AE²，CE+EO=CO=2，
∵AB=4，AC=CD=1，
∴AE=

15

2

∴sinα=

AE

OA

=

15 2

2

=

15

4

；

（3）∵由（2）知，AE=

15

2

，
∴AD=2AE=

15

，
∵AB是⊙O的直徑，
∴△ABD是直角三角形，
∴BD²=AB²-AD²，即BD²=4²-（

15

）²，
∴BD=

7

2

．

點(diǎn)評：本題考查的是垂徑定理與勾股定理，熟知平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵．