【題目】如圖是一塊含30°(即CAB=30°)角的三角板和一個量角器拼在一起,三角板斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN重合,其量角器最外緣的讀數(shù)是從N點開始(即N點的讀數(shù)為0),現(xiàn)有射線CP繞著點C從CA順時針以每秒2度的速度旋轉(zhuǎn)到與ACB外接圓相切為止.在旋轉(zhuǎn)過程中,射線CP與量角器的半圓弧交于E.

(1)當(dāng)射線CP與ABC的外接圓相切時,求射線CP旋轉(zhuǎn)度數(shù)是多少?

(2)當(dāng)射線CP分別經(jīng)過ABC的外心、內(nèi)心時,點E處的讀數(shù)分別是多少?

(3)當(dāng)旋轉(zhuǎn)7.5秒時,連接BE,求證:BE=CE.

【答案】(1)射線CP旋轉(zhuǎn)度數(shù)是120°;(2)E處的讀數(shù)為90(3)證明見解析.

【解析】

(1) 連接OC. 根據(jù)切線的性質(zhì), 得∠OCP=, 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),得∠ACO=A, 從而求得射線CP旋轉(zhuǎn)度數(shù);

(2) 當(dāng)CP過△ABC外心時 (即過O),BCE=, 根據(jù)圓周角定理, 則點E處的讀數(shù)是;當(dāng)CP過△ABC的內(nèi)心時, CP平分∠ACB, 則∠BCE=, 根據(jù)圓周角定理,則點E處的讀數(shù)是.

(3) 根據(jù)已知, 知旋轉(zhuǎn)了, 即可求得∠EBC=BCE=, 從而證明結(jié)論.

(1)連接OC.

射線CP與ABC的外接圓相切,

∴∠OCP=90°,

∵OA=OC,

∴∠ACO=∠A=30°,

射線CP旋轉(zhuǎn)度數(shù)是120°;

(2)

∵∠BCA=90°,

∴△ABC的外接圓就是量角器所在的圓.

當(dāng)CP過ABC外心時(即過O點),∠BCE=60°,

∴∠BOE=120°,即E處的讀數(shù)為120,

當(dāng)CP過ABC的內(nèi)心時,∠BCE=45°,∠EOB=90°,

E處的讀數(shù)為90.

(3)在圖2中,

∵∠PCA=2×7.5°=15°,∠BCE=75°,∠ECA=∠EBA=15°,

∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠BCE=75°,

∴BE=EC.

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