如圖,在平面直角坐標系xOy中,△OAB如圖放置,點P是AB邊上的一點,過點P的反比例函數(shù)y=
k
x
(k>0,x>0)與OA邊交于點E,連接OP.
(1)如圖1,若點A的坐標為(3,4),點B的坐標為(5,0),且△OPB的面積為5,求直線AB和反比例函數(shù)的解析式;
(2)如圖2,若∠AOB=60°,過P作PC∥OA,與OB交于點C,若PC=
1
2
OE,并且△OPC的面積為
3
3
2
,求OE的長.
(3)在(2)的條件下,過點P作PQ∥OB,交OA于點Q,點M是直線PQ上的一個動點,若△OEM是以OE為直角邊的直角三角形,則點M的坐標為
 

考點:反比例函數(shù)綜合題
專題:
分析:(1)過點P作PD⊥OB于點D,根據(jù)點B的坐標為(5,0),且△OPB的面積為
5
2
求出PD的長,求出直線AB的解析式,故可得出P點坐標,利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式即可;
(2)先根據(jù)勾股定理求出OA的長,△OPC的面積為
3
3
2
求出OC的長,再由PC∥OA可知△BCP∽△BOA,故可得出OC的長,由PC=
1
2
OE即可得出OE的長.
(3)先求得E的坐標,然后根據(jù)直線OA求得OM或EM的解析式,把y=1代入解析式即可求得M的坐標;
解答:解:(1)過點P作PD⊥OB于點D,
∵點B的坐標為(5,0),
△OPB的面積為
5
2
,
1
2
×5PD=
5
2
,解得PD=1,
設直線AB的解析式為
y=ax+b(a≠0),
∵A(3,4),B(5,0),
3a+b=4
5a+b=0
,解得
a=-2
b=10

∴直線AB的解析式為y=-2x+10,
當y=1時,-2x+10=1,解得x=
9
2
,
∴P(
9
2
,1),
∵點P的反比例函數(shù)y=
k
x
(x>0)上,
∴1=
k
9
2
,解得k=
9
2
,
∴反比例函數(shù)的解析式為:y=
9
2x
;

(2)∵點A的坐標為(3,4),
∴OA=
32+42
=5,
∵△OPC的面積為
3
2
3
,
1
2
OC×1=
3
2
3
,解得OC=3
3
,
∴BC=5-3
3
,
∵PC∥OA,
∴△BCP∽△BOA,
PC
OA
=
BC
OB
,即
PC
5
=
5-3
3
5
,解得PC=5-3
3
,
∵PC=
1
2
OE,
∴OE=10-6
3


(3)∵點A的坐標為(3,4),
∴直線OA為:y=
4
3
x,
∵反比例函數(shù)的解析式為:y=
9
2x
;
∴E(
3
6
4
,
6
),
當∠EOM=90°時,直線OM為:y=-
3
4
x,
∵P(
9
2
,1),
∴1=-
3
4
x,解得x=-
4
3
,
∴M(-
4
3
,1),
當∠OEM=90°時,直線EM為:y=-
3
4
x+b,
∵E(
3
6
4
,
6
),
6
=-
3
4
×
3
6
4
+b,解得:b=2
6
,
∴直線EM為y=-
3
4
x+2
6
,
∵P(
9
2
,1),
∴1=-
3
4
x+2
6
,解得:x=
8
6
-4
3
,
∴M(
8
6
-4
3
,1)
∴M的坐標為(-
4
3
,1)或(
8
6
-4
3
,1);
點評:本題考查的是反比例函數(shù)綜合題,涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質等知識,難度適中.
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