Question

如圖，在正方形ABCD中，點A、B的坐標(biāo)分別為（0，10），（8，4），點C在第一象限，動點P在正方形ABCD的邊上從點A出發(fā)沿A→B→C以每秒一個單位長度勻速運動，同時動點Q以每秒

1

2

個單位長度在x正半軸上運動，當(dāng)動點P運動到B時，Q的速度變?yōu)槊棵?個單位長度勻速繼續(xù)向前運動，當(dāng)P點到達(dá)C點時兩點同時停止運動，設(shè)運動的時間為t秒．
（1）求正方形邊長及頂點C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)P點沿A→B上運動時，點Q的橫坐標(biāo)x與運動時間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式是x=

1

2

t+1，請寫出點Q運動起點的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)P點沿A→B→C運動時，是否存在適當(dāng)?shù)膖值，使△OPQ為直角三角形？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）利用勾股定理即可求出AB的值，運用三角函數(shù)求出頂點C的坐標(biāo)．
（2）令t=0，即可求出Q運動起點的坐標(biāo)．
（3）分四種情況①當(dāng)0＜t≤10時，∠OQP=90°，②當(dāng)20≥t＞10時，∠OQP=90°③當(dāng)20≥t＞10時，∠OPQ=90°，④當(dāng)t=0時，∠POQ=90°，分別求出t的值．

解答：解：（1）∵A（0，10），B（8，4），
∴AB=

82+(4-10)2

=10，
如圖1，過點作MN⊥y軸，交y軸于點M，交CE于點N，

∵M(jìn)B=8，AM=10-4=6，AB=10，
∴sin∠ABM=

AM

AB

=

6

10

=

3

5

，
∵∠ABM+∠CBN=90°，∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠ABM=∠BCN，
∴sin∠BCN=

BN

BC

=

3

5

，
∵BC=10，
∴BN=6，
∴CN=

102-62

=8，
∴OE=8+6=14，EC=4+8=12，
∴頂點C的坐標(biāo)（14，12）．
（2）∵點Q的橫坐標(biāo)x與運動時間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式是x=

1

2

t+1，
令t=0，得x=1，
∴點Q運動起點的坐標(biāo)為（1，0），
（3）①當(dāng)0＜t≤10時，∠OQP=90°，
∵點Q的橫坐標(biāo)x與運動時間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式是x=

1

2

t+1，
∴Q（

1

2

t+1，0），
∵AP=t，
∴P的坐標(biāo)為（

4

5

t，10-

3

5

t），
當(dāng)P，Q的橫坐標(biāo)相同時，∠PQO=90°，
∴

1

2

t+1=

4

5

t，解得t=

10

3

，
∴t=

10

3

時，△OPQ為直角三角形．
②當(dāng)20≥t＞10時，∠OQP=90°
∵當(dāng)P點沿A→B上運動時，點Q的橫坐標(biāo)x與運動時間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式是x=

1

2

t+1=

1

2

×10+1=6，
∴當(dāng)t＞10時，x=6+4（t-10）=4t-34．
∵在AB上AP=t，
∴AB上P的橫坐標(biāo)為

4

5

×10=8，
在BC上時點P的橫坐標(biāo)為8+

3

5

（t-10）=

3

5

t+2，
當(dāng)P，Q的橫坐標(biāo)相同時，∠PQO=90°，
∴4t-34=

3

5

t+2，解得t=

180

17

，
∴t=

180

17

時，△OPQ為直角三角形．
③當(dāng)20≥t＞10時，
∵當(dāng)P點沿A→B上運動時，點Q的橫坐標(biāo)x與運動時間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式是x=

1

2

t+1=

1

2

×10+1=6，
∴當(dāng)t＞10時，x=6+4（t-10）=4t-34．
∴Q坐標(biāo)為（4t-34，0）
∵在AB上AP=t，
∴AB上的B點時，P的橫坐標(biāo)為

4

5

×10=8，縱坐標(biāo)為4，
在BC上時點P的橫坐標(biāo)為8+

3

5

（t-10）=

3

5

t+2，縱坐標(biāo)4+

4

5

（t-10）=

4

5

t-4．
P的坐標(biāo)為（

3

5

t+2，

4

5

t-4）
當(dāng)∠OPQ=90°，如圖2作PM⊥x軸交x軸于點M．

∵∠OPQ=90°，
∴PM²=OM•QM，即（

4

5

t-4）²=（

3

5

t+2）•（4t-34-

3

5

t-2），
化簡得7t²-42t-440=0，
解得t₁=3+

3521

7

，t₂=3-

3521

7

（舍去）
④當(dāng)t=0時，∠POQ=90°，
故存在適當(dāng)?shù)膖值，使△OPQ為直角三角形，t=

10

3

，

180

17

或3+

3521

7

，0．

點評：本題主要考查了四邊形綜合題．涉及坐標(biāo)，函數(shù)及方程的知識，第三問難度大，解題的關(guān)鍵是要分四種情況分別求出適當(dāng)?shù)膖值，使△OPQ為直角三角形．