Question

如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，10），（8，4），點(diǎn)C在第一象限，動(dòng)點(diǎn)P在正方形ABCD的邊上從點(diǎn)A出發(fā)沿A→B→C以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以每秒

1

2

個(gè)單位長(zhǎng)度在x正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，Q的速度變?yōu)槊棵?個(gè)單位長(zhǎng)度勻速繼續(xù)向前運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求正方形邊長(zhǎng)及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)P點(diǎn)沿A→B上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)x與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式是x=

1

2

t+1，請(qǐng)寫出點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)起點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)P點(diǎn)沿A→B→C運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在適當(dāng)?shù)膖值，使△OPQ為直角三角形？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）利用勾股定理即可求出AB的值，運(yùn)用三角函數(shù)求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）令t=0，即可求出Q運(yùn)動(dòng)起點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）分四種情況①當(dāng)0＜t≤10時(shí)，∠OQP=90°，②當(dāng)20≥t＞10時(shí)，∠OQP=90°③當(dāng)20≥t＞10時(shí)，∠OPQ=90°，④當(dāng)t=0時(shí)，∠POQ=90°，分別求出t的值．

解答：解：（1）∵A（0，10），B（8，4），
∴AB=

82+(4-10)2

=10，
如圖1，過點(diǎn)作MN⊥y軸，交y軸于點(diǎn)M，交CE于點(diǎn)N，

∵M(jìn)B=8，AM=10-4=6，AB=10，
∴sin∠ABM=

AM

AB

=

6

10

=

3

5

，
∵∠ABM+∠CBN=90°，∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠ABM=∠BCN，
∴sin∠BCN=

BN

BC

=

3

5

，
∵BC=10，
∴BN=6，
∴CN=

102-62

=8，
∴OE=8+6=14，EC=4+8=12，
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)（14，12）．
（2）∵點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)x與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式是x=

1

2

t+1，
令t=0，得x=1，
∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)起點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），
（3）①當(dāng)0＜t≤10時(shí)，∠OQP=90°，
∵點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)x與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式是x=

1

2

t+1，
∴Q（

1

2

t+1，0），
∵AP=t，
∴P的坐標(biāo)為（

4

5

t，10-

3

5

t），
當(dāng)P，Q的橫坐標(biāo)相同時(shí)，∠PQO=90°，
∴

1

2

t+1=

4

5

t，解得t=

10

3

，
∴t=

10

3

時(shí)，△OPQ為直角三角形．
②當(dāng)20≥t＞10時(shí)，∠OQP=90°
∵當(dāng)P點(diǎn)沿A→B上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)x與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式是x=

1

2

t+1=

1

2

×10+1=6，
∴當(dāng)t＞10時(shí)，x=6+4（t-10）=4t-34．
∵在AB上AP=t，
∴AB上P的橫坐標(biāo)為

4

5

×10=8，
在BC上時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為8+

3

5

（t-10）=

3

5

t+2，
當(dāng)P，Q的橫坐標(biāo)相同時(shí)，∠PQO=90°，
∴4t-34=

3

5

t+2，解得t=

180

17

，
∴t=

180

17

時(shí)，△OPQ為直角三角形．
③當(dāng)20≥t＞10時(shí)，
∵當(dāng)P點(diǎn)沿A→B上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)x與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式是x=

1

2

t+1=

1

2

×10+1=6，
∴當(dāng)t＞10時(shí)，x=6+4（t-10）=4t-34．
∴Q坐標(biāo)為（4t-34，0）
∵在AB上AP=t，
∴AB上的B點(diǎn)時(shí)，P的橫坐標(biāo)為

4

5

×10=8，縱坐標(biāo)為4，
在BC上時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為8+

3

5

（t-10）=

3

5

t+2，縱坐標(biāo)4+

4

5

（t-10）=

4

5

t-4．
P的坐標(biāo)為（

3

5

t+2，

4

5

t-4）
當(dāng)∠OPQ=90°，如圖2作PM⊥x軸交x軸于點(diǎn)M．

∵∠OPQ=90°，
∴PM²=OM•QM，即（

4

5

t-4）²=（

3

5

t+2）•（4t-34-

3

5

t-2），
化簡(jiǎn)得7t²-42t-440=0，
解得t₁=3+

3521

7

，t₂=3-

3521

7

（舍去）
④當(dāng)t=0時(shí)，∠POQ=90°，
故存在適當(dāng)?shù)膖值，使△OPQ為直角三角形，t=

10

3

，

180

17

或3+

3521

7

，0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了四邊形綜合題．涉及坐標(biāo)，函數(shù)及方程的知識(shí)，第三問難度大，解題的關(guān)鍵是要分四種情況分別求出適當(dāng)?shù)膖值，使△OPQ為直角三角形．