Question

6．如圖，直線y=kx-k²（k＞0）與y軸交于C，與拋物線y=ax²有唯一公共點B，BE⊥x軸于E，D（0，4），若經(jīng)過D、O、E三點的圓與拋物線的交點恰好為點B，求k的值．

Answer 1

分析 由題意得，kx-k²=ax²，即ax²-kx+k²=0有兩個相等的實數(shù)根，而k＞0，根據(jù)判別式，解答即可，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-{k}^{2}}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\end{array}\right.$得點B的坐標為（2k，k²），連接OB、DE，則OB、DE均為過點D、0、E三點的圓的直徑，所以，Rt△ODE≌Rt△EBO（HL），得到BE=DO=4，即可得出k值．

解答 解：（1）∵直線y=kx-k²與拋物線y=ax²有唯一公共點B，
∴kx-k²=ax²，即ax²-kx+k²=0有兩個相等的實數(shù)根．
∴（-k）²-4ak²=0，而k＞0．
∴a=$\frac{1}{4}$．
∴y=$\frac{1}{4}$x²．
由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-{k}^{2}}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2k}\\{y={k}^{2}}\end{array}\right.$．
∴點B的坐標為（2k，k²）．
又∵BE⊥x軸于E，
∴E（2k，0）．
∴DE⊥OB，DF=EF=OF．
連接OB、DE，則OB、DE均為過點D、0、E三點的圓的直徑，
∴Rt△ODE≌Rt△EBO（HL）．
∴BE=DO．
∵D（0，4），
∴k²=4．
解得：k=±2．
∵直線經(jīng)過一三四象限，
∴k=2（k＞0）．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的知識有利用二次函數(shù)的性質求公共點的坐標、全等三角形的判定和圓的性質，證得Rt△ODE≌Rt△EBO（HL）是解題的關鍵．