【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為x=﹣1,且拋物線經(jīng)過 A(1,0),C(0,3)兩點,與x軸交于點B.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸x=﹣1上找一點M,使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小,求此時點M的坐標(biāo);
(3)設(shè)點P為拋物線對稱軸x=﹣1上的一個動點,求使△BPC為直角三角形的點P的坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)當(dāng)點M的坐標(biāo)為(﹣1,2)時,點M到點A和點C的距離之和最;(3)P(﹣1,﹣2)或(﹣1,4)或(﹣1,)或(﹣1,).
【解析】
(1)根據(jù)對稱軸公式及A、C兩點坐標(biāo)代入即可求出拋物線的解析式;
(2)根據(jù)兩條線段之和最短時的作圖方法找到M即可,然后利用B、C的坐標(biāo)求出直線BC的解析式,利用BC和對稱軸即可求出M的坐標(biāo);
(3)設(shè)P(﹣1,t),根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意兩點之間的距離公式,即可表示出CB2,PB2和PC2,然后根據(jù)直角頂點分類討論,利用勾股定理求t即可.
解:(1)根據(jù)題意得:,解得:,
∴拋物線的解析式為:y=﹣x2﹣2x+3.
(2)點A的對稱點為B,連接BC,直線BC與對稱軸x=﹣1的交點為M,則此時AM+MC的值最。
∵點A與點B關(guān)于x=﹣1對稱,A(1,0),
∴B(﹣3,0).
設(shè)BC的解析式為y=mx+n,將點B和點C的坐標(biāo)代入得:,解得:m=1,n=3.
∴直線BC的解析式為y=x+3.
將x=﹣1代入y=x+3得:y=2,
∴M(﹣1,2).
∴當(dāng)點M的坐標(biāo)為(﹣1,2)時,點M到點A和點C的距離之和最。
(3)設(shè)P(﹣1,t).
∵P(﹣1,t),B(﹣3,0),C(0,3),
∴CB2=18,PB2=(﹣1+3)2+t2=t2+4,PC2=(﹣1)2+(t﹣3)2=t2﹣6t+10.
①當(dāng)點B為直角頂點時,則BC2+PB2=PC2,即18+t2+4=t2﹣6t+10,解得t=﹣2,
∴P(﹣1,﹣2).
②當(dāng)點C為直角頂點時,BC2+PC2=PB2,即18+t2﹣6t+10=t2+4,解得t=4,
∴P(﹣1,4).
③當(dāng)點P為直角頂點時,PC2+PB2=BC2,即t2+4+t2﹣6t+10=18,解得:t=或t=,
∴P(﹣1,)或(﹣1,).
綜上所述,點P的坐標(biāo)為P(﹣1,﹣2)或(﹣1,4)或(﹣1,)或(﹣1,).
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【題目】如圖1,拋物線與軸交于、兩點,與軸交于點,頂點為點.
(1)求這條拋物線的解析式及直線的解析式;
(2)段上一動點(點不與點、重合),過點向軸引垂線,垂足為,設(shè)的長為,四邊形的面積為.求與之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍;
(3)在線段上是否存在點,使為等腰三角形?若存在,請直接寫出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】為落實國務(wù)院房地產(chǎn)調(diào)控政策,使“居者有其屋”.某市加快了廉租房的建設(shè)力度,2013年市政府共投資3億元人民幣建設(shè)了廉租房12萬平方米,2015年投資6.75億元人民幣建設(shè)廉租房,若在這兩年內(nèi)每年投資的增長率相同.
(1)求每年市政府投資的增長率;
(2)若這兩年內(nèi)的建設(shè)成本不變,問2015年建設(shè)了多少萬平方米廉租房?
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【題目】如圖,A、P、B為⊙O上的三點,
(1)在優(yōu)弧AmB上求作一點C,使得 (尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)在(1)的條件下,若∠APB=120°,連接AC,BC,求證:△ABC是等邊三角形.
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【題目】已知函數(shù)圖象如圖所示,根據(jù)圖象可得:
(1)拋物線頂點坐標(biāo)_____.
(2)對稱軸為_____.
(3)當(dāng)_____時,y隨著x得增大而增大
(4)當(dāng)_____時,y>0.
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【題目】如圖,已知拋物線的對稱軸為直線,且經(jīng)、兩點.
求拋物線的解析式;
在拋物線的對稱軸上,是否存在點,使它到點的距離與到點的距離之和最小,如果存在求出點的坐標(biāo),如果不存在請說明理由.
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【題目】如圖,小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB,他調(diào)整自己的位置,設(shè)法使斜邊DF保持水平,并且邊DE與點B在同一直線上,已知紙板的兩條直角邊DE=0.4m,EF=0.2m,測得邊DF離地面的高度AC=1.5m,CD=8m,求樹高。
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【題目】已知:如圖,在平行四邊形中,G、H分別是、的中點,E、O、F分別是對角線上的四等分點,順次連接G、E、H、F.
(1)求證:四邊形是平行四邊形;
(2)當(dāng)平行四邊形滿足_______條件時,四邊形是菱形;
(3)若,探究四邊形的形狀,并說明理由.
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【題目】凈覺寺享有“家東第一寺”的美譽,是一座規(guī)模較大,布局嚴顏,結(jié)構(gòu)合理,獨具一格的古建筑群體,被國務(wù)院批準(zhǔn)列入第六批全國重點文物保護單位名單,某校社會實踐小組為了測量寺內(nèi)一古塔的高度,在地面上處垂直于地面豎立了高度為米的標(biāo)桿,這時地面上的點,標(biāo)桿的頂端點,古塔的塔尖點正好在同一直線上,測得米,將標(biāo)桿向后平移到點處,這時地面上的點,標(biāo)桿的頂端點,古塔的塔尖點正好在同一直線上(點,點,點,點與古塔底處的點在同一直線上)這時測得米,米,請你根據(jù)以上數(shù)據(jù),計算古塔的高度.
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