Question

平行四邊形AOBC在平面直角坐標系中的位置如圖（1）．
（1）寫出點C的坐標；
（2）在圖（1）中，連接AB，OC得到圖（2），求AB與OC的交點M點的坐標；
（3）將圖（2）中的線段BC向兩方延長得到圖（3），若點D，E為直線BC上不與B，C重合的動點，是否存在這樣的D，E點，使得四邊形OADE為矩形？若存在，請在圖中畫出矩形，并求出矩形OADE的面積和點D，E的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的對邊相等和已知點的坐標求得點C的坐標即可；
（2）首先求得直線AB的解析式，然后得到直線OC的解析式，聯(lián)立后即可求得交點M的坐標；
（3）分別過點A、O作AD⊥BC于點D，OE⊥BC于點E，過E、D分別作x軸的垂線，垂足分別為F、G，利用四邊形AOBC是平行四邊形，得到AO∥BC，從而得到四邊形AOED是矩形，且與平行四邊形AOBC面積相等，從而求得矩形AOED的面積為12，求得線段EF和線段OF后即可求得點E的坐標，從而求得點D的坐標．

解答：解：（1）∵四邊形OACB是平行四邊形，
∴AC=OB，
∵A（1，3）、B（4，0），
∴C（5，3）；

（2）如圖（2），設AB所在的直線的解析式為y=kx+b，
∵直線AB經(jīng)過點A（1，3）、B（4，0），
∴

k+b=3 4k+b=0

，
∴AB所在直線的解析式為y=-4x+4，
由于OC所在直線的表達式為y=

3

5

x，
聯(lián)立方程

y=-4x+4 y= 3 5 x

解得：

x=2.5 y=1.5

即M的坐標是（2.5，1.5）；

（3）存在這樣的D、E，使得四邊形AOED是矩形．
分別過點A、O作AD⊥BC于點D，OE⊥BC于點E，過E、D分別作x軸的垂線，垂足分別為F、G，
∵四邊形AOBC是平行四邊形，
∴AO∥BC，
∴AD⊥AO，
∴四邊形AOED是矩形，且與平行四邊形AOBC面積相等，
∵平行四邊形AOBC的面積為12，
∴矩形AOED的面積為12，
由勾股定理知AO=

10

，
∴OE=

12

10

，EB=

4

10

，
∴EF=

EB•OE

OB

=

4 10 × 12 10

4

=1.2，
OF=

OE2-EF2

=

144 10 -1.44

=3.6，
∴點E的坐標為（3.6，-1.2），
∴點D的坐標為（4.6，1.8）．

點評：此題主要考查四邊形的綜合知識、勾股定理等知識，綜合性較強，而且有一定的拔高難度，屬于難題，要求學生做題時一定要仔細，認真．