Question

定義：如果一個的函數(shù)圖象經(jīng)過平移后能與反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象重合，那么稱這個函數(shù)是“反比例函數(shù)y=

k

x

的平移函數(shù)”．
例如：y=

1

x-3

+2的圖象向左平移3個單位，再向下平移2個單位得到y(tǒng)=

1

x

的圖象，所以y=

1

x-3

+2 是“反比例函數(shù)y=

1

x

的平移函數(shù)”．
（1）兩邊分別是4cm、6cm的矩形，當(dāng)它們分別增加xcm、ycm后，得到的新矩形的面積為32cm²，求y與x的函數(shù)表達式，并判斷這個函數(shù)是否為“反比例平移函數(shù)”．
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，矩形OABC的頂點A、C的坐標(biāo)分別為（6，0）、（0，3），點D是OA的中點，連接OB、CD交于點E，反比例平移函數(shù)”y=

ax+b

x-4

的圖象經(jīng)過B、E兩點（如圖），則這個反比例平移函數(shù)的表達式為

 

；請寫出能與這個“反比例平移函數(shù)”圖象重合的反比例函數(shù)的表達式

 

．
（3）在（2）的條件下，已知過線段BE中點的一條直線L交這個“反比例函數(shù)的平移函數(shù)”圖象于P、Q兩點（P在Q的右側(cè)），若B、E、P、Q為頂點組成的四邊形面積為16，請求出點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)得出（x+4）（y+6）=32，再用x表示出y即可；
（2）把B（6，3），E（2，1）代入y=

ax+b

x-4

，可得出a，b的值，再用x表示出y，根據(jù)“反比例平移函數(shù)”的概念即可得出結(jié)論；
（3）當(dāng)點P在點B左側(cè)時，設(shè)線段BE的中點為F，由反比例函數(shù)中心對稱性，則四邊形PEQB為平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可知S_△PFB=4，由（2）可知  y=

2x-6

x-4

是“反比例函數(shù)y=

2

x

的平移函數(shù)”，顯然?PEQB則會平移為對應(yīng)?P₁E₁Q₁E，故S_△PBF=S_△PEO=4，過點E作x軸的垂線，交x軸于M點．過P作y軸的垂線交y軸于N點，則S_△P1OE=S_矩形MOCN+S_△CP1N-S_△MOE-S_△0CP1-s_△CP1N=4，再由反比例函數(shù)的性質(zhì)得出a×b=2，S_矩形MOCN=3×2=6，S_△CP1N=

1

2

×2×（b-3），由此得出a、b的值，進而得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵（x+4）（y+6）=32，
∴y=

32

x+4

-6，
則把y=

32

x+4

-6 向右平移4個單位，再向上平移6個單位得到y(tǒng)=

32

x

，
∴y=

32

x+4

-6是“反比例函數(shù)y=

32

x

的平移函數(shù)”；

（2）∵把B（6，3），E（2，1）代入y=

ax+b

x-4

，得a=2，b=-6，則y=

2x-6

x-4

∴y=

2(x-4)+2

x-4

，得 y=

2

x-4

+2，所以向左平移4個單位，再向下平移2個單位則得y=

2

x

．
故答案為：y=

2x-6

x-4

，y=

2

x

；

（3）如圖，當(dāng)點P在點B左側(cè)時，設(shè)線段BE的中點為F，由反比例函數(shù)中心對稱性，則四邊形PEQB為平行四邊形．
∵四邊形的面積為16，
∴S_△PFB=4，
∵由（2）可知  y=

2x-6

x-4

是“反比例函數(shù)y=

2

x

的平移函數(shù)”，顯然?PEQB則會平移為對應(yīng)?P₁E₁Q₁E，
∴S_△PBF=S_△PEO=4，
過點E作x軸的垂線，交x軸于M點．過P作y軸的垂線交y軸于N點．
S_△P1OE=S_矩形MOCN+S_△CP1N-S_△MOE-S_△0CP1-S_△CP1N=4，
設(shè)P₁（a，b），E（2，1）則顯然：a×b=2，S_矩形MOCN=3×2=6，S_△CP1N=

1

2

×2×（b-3），
S_△MOE=

1

2

×1×2=1，S_△0CP1=

1

2

×3×a=，S_△CP1N=

1

2

×2×（2-a），
即：a×b=2①
6+

1

2

×2×（b-3）-1-

1

2

×3×a-

1

2

×2×（2-a）=3②，
由①和②得：a=1，b=3  （負(fù)值舍去）即：P₁（1，3），
∴P（4，5）
當(dāng)點P在點B右側(cè)時，同理可得點P的坐標(biāo)為（12，

7

3

）．

點評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，根據(jù)題意得出“反比例函數(shù)y=

k

x

的平移函數(shù)”的定義是解答此題的關(guān)鍵．