Question

13．如圖，小明作圖如下：
（1）用量角器作∠MAN=36°；
（2）以A為圓心適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作圓弧，分別交AM，AN于B，C兩點(diǎn)，連結(jié)BC；
（3）以B為圓心適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作圓弧，分別交AB，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，再分別以E，F(xiàn)為圓心大于$\frac{1}{2}$EF長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點(diǎn)K，連結(jié)BK并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)D．
若AD=a，則由以上作圖可得AB為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$a
• B． $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$a
• C． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}a$
• D． $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$a

Answer 1

分析 由作法得∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠ABC=∠ACB=72°，∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°，易得AD=DB=BC=a，可證明△BCD∽△ABC，利用相似比得到$\frac{a}{AB}$=$\frac{AB-a}{a}$，整理得AB²-a•AB-a²=0，然后解方程即可得到AB的長(zhǎng)．

解答 解：由作法得∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=$\frac{1}{2}$（180°-36°）=72°，
∵∠ABD=∠CBD=36°
∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∵∠A=∠ABD，∠BDC=∠ACB，
∴DA=DB，DB=CB，
∴AD=DB=BC=a，
易得△BCD∽△ABC，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{CD}{BC}$，即$\frac{a}{AB}$=$\frac{AB-a}{a}$，
∴AB²-a•AB-a²=0，
∴AB=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$a．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．