Question

19．如圖，一次函數(shù)y=-2x+4的圖象分別與x軸、y軸交于點A、B，以線段AB為邊在第一象限內(nèi)作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，求：
（1）A、B、C三點的坐標(biāo)．
（2）過B、C兩點直線的解析式．

Answer 1

分析 （1）過點C作CD⊥x軸于D，如圖，根據(jù)坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征求可確定A點和B點坐標(biāo)，得到OA=2，OB=4，再利用“AAS”證明△ABO≌△CAD，得到AD=OB=4，CD=OA=2，于是得到C點坐標(biāo)為（6，2）；
（2）利用待定系數(shù)法求直線BC的解析式．

解答 解：（1）過點C作CD⊥x軸于D，如圖，
當(dāng)y=0時，-2x+4=0，解得x=2，則A（2，0），OA=2，
當(dāng)x=0時，y=-2x+4=4，則B（0，4），OB=4，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAD=90°，
而∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAD，
在△ABO和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠CDA}\\{∠ABO=∠CAD}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CAD，
∴AD=OB=4，CD=OA=2，
∴C點坐標(biāo)為（6，2）；
（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（0，4），C（6，2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{6k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
故直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+4．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．也考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．