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9.在△ABC中,∠C=∠ABC,AE∥BC,BE平分∠ABC,則下列結論中一定成立的是①②④(把所有正確結論的序號都填在橫線上).
①AE平分∠DAC      ②∠C=2∠E
③在△ABE中,AC平分∠BAE
④若AC⊥BE,則∠E=30°.

分析 求出∠CBA=2∠CBE=2∠EBA,∠CBE=∠EBA,根據平行線的性質求出∠CAE=∠C,∠EAD=∠CAB,求出AC=AB,∠CAE=∠EAD,根據平行線的性質得出∠E=∠CBE,求出∠C=∠CBA,∠CBA=2∠CBE,推出∠C=2∠E,∠E=∠EBA,但是不能推出AC平分∠EAB,證△CFB≌△AFB,推出BC=AB,得出△ABC是等邊三角形,求出∠CBA=60°,根據以上結論逐個判斷即可.

解答 解:如圖,∵BE平分∠CBA,
∴∠CBA=2∠CBE=2∠EBA,∠CBE=∠EBA,
∵AE∥BC,
∴∠CAE=∠C,∠EAD=∠CAB,
∵∠C=∠ABC,
∴AC=AB,∠CAE=∠EAD,
∴AE平分∠CAD,∴①正確;
∵AE∥BC,
∴∠E=∠CBE,
∵∠C=∠CBA,∠CBA=2∠CBE,
∴∠C=2∠E,∴②正確;
能推出∠E=∠EBA,但是不能推出AC平分∠EAB,∴③錯誤;
∵AC⊥BE,
∴∠CFB=∠AFB=90°,
在△CFB和△AFB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFB=∠AFB}\\{BF=BF}\\{∠CBF=∠ABF}\end{array}\right.$
∴△CFB≌△AFB(ASA),
∴BC=AB,
∵AC=AB,
∴BC=AC=AB,
∴△ABC是等邊三角形,
∴∠CBA=60°,
∵BE平分∠CBA
∵∠E=∠CBE=∠EBA=30°,∴④正確.
故答案為:①②④.

點評 本題考查了等腰三角形的性質和判定,全等三角形的性質和判定,等邊三角形的性質和判定的應用,能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵.

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