Question

15．已知：如圖，B、A、C三點共線，并且Rt△ABD≌Rt△ECA，M是DE的中點．
（1）判斷△ADE的形狀并證明；
（2）判斷線段AM與線段DE的關系并證明；
（3）判斷△MBC的形狀并證明．

Answer 1

分析 （1）△ADE是等腰直角三角形；根據(jù)Rt△ABD≌Rt△ECA，得到AD=AE，∠CAE=∠BDA，證明∠EAD=180°-90°=90°，即可解答；
（2）AM⊥DE，AM=$\frac{1}{2}$DE，根據(jù)M是DE的中點，△ADE是等腰直角三角形．即可得到AM⊥DE，AM=$\frac{1}{2}$DE．
（3）△MBC是等腰直角三角形，證明△BDM≌△CAM，得到CM=BM，∠CMA=∠DMB，求出∠BMC=90°，所以△MBC是等腰直角三角形．

解答 解：（1）△ADE是等腰直角三角形；
∵Rt△ABD≌Rt△ECA，
∴AD=AE，∠CAE=∠BDA，
∵∠BDA+∠BAD=90°，
∴∠BDA+∠CAE=90°，
∴∠EAD=180°-90°=90°，
∴△ADE是等腰直角三角形．
（2）AM⊥DE，AM=$\frac{1}{2}$DE，
∵M是DE的中點，△ADE是等腰直角三角形．
∴AM⊥DE，AM=$\frac{1}{2}$DE．
（3）△MBC是等腰直角三角形，
∵AM是等腰直角三角形斜邊DE上的中線，
∴AM=$\frac{1}{2}$DE=DM，
∵Rt△ABD≌Rt△ECA，
∴AC=BD，∠CAE=∠BDA，
∵∠MDA=∠MAE=45°，
∴∠BDM=∠CAM，
∴△BDM≌△CAM，
∴CM=BM，∠CMA=∠DMB，
∵∠DMB+∠BMA=90°，
∴∠CMA+∠BMA=90°，
∴∠BMC=90°，
∴△MBC是等腰直角三角形．

點評 本題考查了全等三角形的性質與判定定理，解決本題的關鍵是證明三角形全等，得到相等的邊和角．